Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
задачу, определяющую вертикальное движение цилиндрического ударника:
nih = -y^Sh + Rg3, А(0) = 0, А(0) = V03, (3.139)
где индекс / = 1 соответствует жесткому сцеплению ударника и
полупространства, а I = 3-контакту с проскальзыванием.
Требования к начальным условиям (величине и 3) могут
быть сформулированы, исходя из (3.113) или непосредственно из (3.135):
!
-"сОЗ=Д°)> У\о = °> т = 0- (3.140)
138 ¦;
Для нормального вектора N и скорости vN движения граничных точек ?2 в
данном случае из (3.128) получим
= N2 = 0' N3 = Ь VN =h2 = h/ I/("2) I-(3.141)
Отметим, что соотношения (3.140) могут быть получены из простых
геометрических соображений.
Уравнение (3.139) является обыкновенным квазилинейным
дифференциальным уравнением (с учетом зависимости S' от А) второго
порядка. Запишем его в виде
А = F(x, А, Л), F = ±- р?е3(т) - ^g5(A)A]. (3.142)
Как следует из соотношений (3.133), правая часть уравнения (3.142)
непрерывна в окрестности точки (г, А, А) = (0, 0).
Поэтому решение задачи Коши (3.139) существует [93]. Однако для гладких
поверхностей П производная F'h не ограничена в
окрестности точки (0, Ffl3,0). Это соответствует бесконечной
скорости расширения Q в начальный момент времени (V^ * 0):
а2 = a'2(h)h -* 00, г -* +0.
Условия Липшица для функции F(t, А, А) по аргументам А и А в
окрестности точки (0, 0) не выполняются. Поэтому
нельзя гарантировать единственность решения задачи (3.139) [93].
Структура уравнения (3.142) позволяет найти его первый интеграл.
Можно показать [93], что он будет иметь вид
А - Fq(t) + -Fj(A) = с (с = const),
1 т ур(0 h (3.143)
V) = л,3м*. F, т=~tr S ww-
о о
Удовлетворяя в (3.143) начальному условию А(0) = VQ3, от (3.139)
придем к задаче Коши для уравнения первого порядка:
А = Ф(т, А), А(0) = 0, Ф(т, А) = F0(t) - Fx{h) + V03, (3.144)
с = ^оз-
Начальная задача (3.144) удовлетворяет теореме существования и
единственности, так как функции Ф(т, А) и Ф^(т, А) =
= -Fj'(A) = у/г^5(А)/т -непрерывны в окрестности точки (т, А) = = (0, 0).
139
При отсутствии внешних сил (Rg3 = 0 ) уравнение (3.144)!
превращается в уравнение с разделяющимися переменными, и его интеграл
имеет следующий вид:
dh
(3.145)!
Для трех типов алгебраических цилиндров второго порядка! радиус пятна
контакта а2 может быть найден из соответствуй
ющих формул (3.117), (3.120) и (3.123) при # = = 0 или
непосредственно как решение уравнения (3.136), где функция /
определяется соотношениями (3.130)-(3.132) при У13 = 0. Однов
ременно с учетом формулы для площади S (см. (3.133))| вычислим интегралы
FJJi) в (3.143):
4у^(0
а2 = yflah, F^-J&a^h (Jfc = 1),
02 = V A(2c - h),
Fl =
^33
m
ac arctg
ca2(h) a(c - A)
~(c~h)aJh)
<h
= -VA<2
с + A),
(* = 2),
(3.146)
Fi~
m
aJh) h (c + h)a2(h) - ac In |-;-----------h -
+ I
(* = 3),
y33 + Mc03 ~
где индекс к = 1 соответствует параболическому, к = 2-эл-' липтическому,
а к = 3-гиперболическому цилиндрам.
Для параболического цилиндра (к = 1) интеграл (3.145) может быть
вычислен в явном виде:
2Аг
3V,
03
1, А3 - hm
уГШ
(3.147)
4 уПауц^
В качестве примера приведем результаты расчетов для случая
вертикального погружения в изотропное полупространство в условиях
свободного проскальзывания тел, ограниченных указан-
ие
ными тремя типами поверхностей. В качестве безразмерных величин выбраны
следующие: pt - р-плотность материала полупространства, ct - Cj-скорость
волн расширения-сжатия, L = а-параметр уравнений поверхностей. При этом в
(3.139) ¦/ = ~ Отметим, что рассмотрение контакта в виде жестко-
го сцепления и других возможных анизотропных сред никаких принципиальных
изменений в алгоритм решения не вносит.
Изменяется лишь значение коэффициента
Для интегрирования задачи (3.144) использовалась численная процедура
Рунге-Кутта. Вычисления проводились при следующих значениях параметров: т
= 4,5; a = b= 1; V03 = 0,05;
Rg3 = pqH(t); р0 = 0,1 (сплошные кривые), р0 = 0 (штриховые
линии).
Результаты расчетов приведены на рис. 3.2-З.б. Номера кривых
соответствуют следующим поверхностям: 1-параболи-
Рис. 3.2. Зависимость глубины погружения h от времени т ческий,
2-эллиптический, 3-гиперболический цилиндры. На рисунках т^ и Tg2
