Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
являются ограниченными решениями системы (3.43)
при выполнении граничных условий, вытекающих из (2.25):
*3=°
= *00 = <5я> У>
пО
хз=0
= У"00 = °-
(3.63)
Решение системы (3.43) по-прежнему определяется формулами (3.46) и
(3.49), где под константами С{ следует согласно
(2.29) (к = 3) и (3.58) понимать:
/_1 \3+/
СД) = "Та со = (сю> ^20' сзо) = Лзо аз* (3.64)
,zl30
Отметим, что третий элемент столбца определяет предельное значение
if, совпадающее с найденным ранее (3.58) с
помощью непосредственного предельного перехода.
Константы Я; в (3.49) определим из граничных условий
(3.62). Подставляя (3.46> и (3.49) в формулы (3.44) и (3.62), с
115
учетом выражений (3.32), (3.52), (3.58) и (3.64) для вектора Qn0' Q"00>
Yn0 и УП00 П0ЛУЧИМ
*"° = 2 [W + 2(ХЗ^Ю + ^СЮ°2
1=1 L J
(r)"° = ^ + * fa^toPln + Кп) Сю]У(r)^10*3'
i'"=i {(-К(Е° + wWbft"(r)!* *3(r)ГЧ.) +
1 1 L ' '
}удД**"
(3.65),
/= 1
+ К0
п
= C/V",
. з "5
е"м=2 (Ч"W + W" = л20н + *Лосо- *>
1=1 ¦
у"оо = 2 [<-??,*"+ "3>',1 + <С"1''">= 1
/=1 4
- <Л2" + В3Л10>" + *>,осо - Лз" + <Л.0С0-|
H-(flvHvHf. |
Подставляя полученный вектор во второе граничное
условие (3.63), найдем константы Я( и с учетом (3.64) искомый
вектор Q
пОО'
(3.66) I
Н '^ЗО^Я^К^О' ^пОО = iNt? 3'
Nn ~ ("Л20А30'К^ + •Кя)Л10Л30 " (VV) 3х3' I
А Л
Следовательно, предельное значение производной дГ^ /дрп |
(третий элемент столбца Qrt(X)) равно элементу матрицы "
Nn. Найдем явную формулу для этого элемента:
а-i -
/ \
где и A*k.-алгебраические дополнения к элементам, стоящим на пересечении
к-й строки и /-го столбца, соответственно матриц Лзо и Лз* •
Тогда для произведения матриц Л1П и Л'1 получим
'ю 1 30
з
Л, "Л"1 =
10"30 ifik) 3x3' ^lk ~ 2 yljOajk & к 2, 3),
сп сп а$
Здесь определитель матрицы, полученной из Л3# заменой к-й строки на
строку (у;10, удо, уй0). Коэффициенты aff связаны с ранее введенными /3^
и в (3.33) и (3.58) так:
"<?=<>, "И -ag, (3.69)
'4?-"§.0. 4?" 1А3.1
Аналогично произведение Л20 и Л30 имеет вид
А20Л30 = ~ysA2*A30 ~ (Ь/к%хз' bfk = ~ys2 ^/ijOa/k
1 (/,*" 1,2,3),
db) 0(зу.
ь?к = Т^Т 2)' ъ?з = _yjiA3j'
4? = = *i? = € = 0, <3.70)
М31} =4? = |Л3*' = 4?-- = = = °>
/Ф--Ф /(c)--"э. /(r)-"Лю!,
где /fjijP-определитель матрицы, полученной из Л3# заменой к-й строки на
строку (^у^, ?2УД0, ?3У/30)-
Из (3.70) найдем ^2(Аз 1 = ^° + ^з^2(Азо >
-V4X+кп' (-vs'1++-= (-jyVSo' + ЕХ + ВА - B3<-V4X+ *"> -
= (dlmhx.3
dlт = d2m = ^Зт = к3т ~ 2 Й3*М;т' (3.71)
*=1
й(2) а(2)
d =к(п) + 31к(п) л _ №(") + 31 (п)
а31 *31 Т л(2) 21 ' 32 *32 ^ (2) 12 '
Я33 "зз
d = J_/a(2Vn) + a(2) (")\ 33 а(2) \"Э1 13 32 23 / '
33
ще учтены свойства (3.52) элементов icjjp матрицы ЛГя.
Тоща из (3.66), (3.68), (3.69) и (3.71) получим матрицу
N
п
v<") = vW=.0 (t-1,2,3),
m= 1
-Й> - -(r)кЙ? + тЙ>) + "§(45> + + <3.7"
aii1 v азз ' v а3з '
ЧМ?Ч5М?] -"¦
ще учтено то, чо матрица -симметрическая, а матрица
(*7?) -кососимметрическая.
Следователюо, для производных I^L окончательно имеем
дГ?1
lim -г?- = 0 (п = 1, 2). (3.73)
р,,р2-*о д?п
Подставляя теперь (3.57), (3.58) и (3.73) в формулы (3.30) для
моментов MQ.(т), аналогично (3.54)-(3.56) получим следующие результаты:
М = -И<(,?ад. ЧиМ - да<3>К"(т),
01vv "*33 23ч 02"' rr3 13
М03(т) - 0.
118
(3.74)
Таким образом, формулы (3.60) и (3.74) дают явные выражения для
интегральных силовых характеристик в случае граничных условий (3.27). В
