Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
i V"/*. <0 1 'P/z, е)
lim f ¦ dt - lim / ¦ dz = 0,
e-+0" s(0 e-+0:iVbT^
lim W^z, e) = 0, W^z, e) = + 22> ?)(т ~ V ~ z2)^ (B16)
e ¦* +0
lim V'/ifo2 + z2> ?) = 0' lim (t - ZjZ - z2) = 0.
e -" +0 e -" +0
335
Раскладывая рациональную функцию, входящую в формулу для е),
по степеням (t - aQ)
= 2 cf<"0
V ao> p-0 получим следующую связь интегралов от функции xt
k_{t, е) в (В.15) и функций Kp{<*Q, "j, "2) (см- (В.1)):
°2 I
$ Xhk_ft,e)dt = J С>о ~ тУ~Ркр-1+к =
а{ р=1-к
к
= 2 СкГР(% - г)к~РКр. (В.17) р=О
При выводе последнего соотношения учтено, что К(а^,ах, а2) - 0 при р < О
(см. (В. 10)).
Из формул (4.114) и (4.115) найдем разложение для T(aQ) и Г'(а0) при
е -* +0:
т(%) = ("01 " "п)("21 ~ "о^2 + °(е2)'
(В.
18)
т'(ао) = 2(z2l - а01)? + о(е).
Учитывая, что А'0("0; av а2) = л (см. (В.4)) и соотношения (В.18),
на основании рекуррентных соотношений (В.З) по индукции можно доказать
следующие оценки для Кр(аа; а} , а2):
Кр(а0; aV ат) ~ ЛКР Р + +0)>
(В.
19)
~(Р + 0*,+! + (2Р +1)(Z2I - a0l)% +
+ K"01 -"")("21 ~a0lVl =0 (p-0)' *G = 1'
Отсюда получаем оценку интеграла (В. 17):
а ,
2 к
/ ?)dl = яе* I] скГРа01РкР + (? "* +0> (В-20)
"J ' р=о
Подставляя (В.20) и (В. 16) в формул; (В.15), получим искомый
результат:
4°(т, е) = (-цЦ^т, 0) + о(1) (е -* +0), = 1. (В.21)
336
в. Пусть I < 0. Здесь представим А^(т, е) в виде
4V.*)- /
m
+ (-1)4 2 -it!-/ **-"(*"") *•
*=o
V'/',") = уд(*, W - "</>
(B.22)
s-1
ф/*>?)- 2 жф/>-е)(^-т)А
*=0
Так же, как и в предыдущем пункте, можно показать, что для первого
слагаемого в (В.22) справедливо равенство
(В.23)
и выразить интегралы в остальных слагаемых через Kp(T''aVa2>:
J* Л = X Ck-p(T-aQ)k-'>Kp(r,ava2). (В. 24)
"J p=-(i~k)
Разложения для Г(т) и Г'(т) ПРИ е ¦* +0 найдем из (4.114) и
(4.115):
Т(т) = -"п"21?2 + о(е ), Г (-f) = 2z2(c + о{е).
(В.25)
Используя рекуррентные соотношения (В.З), а также формулы (В.4) и
(В.25), по индукции можно показать, что для произвольного р Е Z.
справедливы следующие оценки:
Кр(т; а{,а2) = nv\p + о(ер) (е -* +0),
~(Р + 1>р+1 + (2Р + 1)V? " ^11*21^-1 = °'
(В.26)
К0(т; а,, а2) = л, К_х(т; а,, "2) = - + 0(7)
11 21
(е -" +0),
у+ _ 1 V +
V0 ' -I
^aUa2\
337
Подставляя (В.26) в (В.24), найдем
°2 к
/w*'>*"*** 2 +"•*>
af p=-(s-*)
(е - +0). (В.27)
Тогда из (В.22), (В.23) и (В.27) окончательно получим
о
4°(*> *) = (-!)Н(т' °) 2 (~1УРс7ао1Рур + (? - +°)>
Р=1
(В.28)
1/1
г" - *!,<*) = 2
Р=0
Таким образом, формулы (В.14), (В.21) и (В.28) доказывают утверждение
4.3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. Абрамян Б.Л. Об одной задаче распространения упругих волн в
полупространстве // Докл. АН Арм. ССР.-1985.- Т. 81, № 3.-С.118-122.
2¦ Абрамян Б.Л, Александров В.М., Аменадзе Ю.А. и др. Развитие
теории контактных задач.-М.: Наука, 1976.-496 с.
3. Алексеев А.С. Задачи типа Лэмба для волнового уравнения в
линейно-неоднородном полупространстве // Уч. зап. ЛГУ.-1958.-№ 246, вып.
32.-С. 167-227.
4. Аленицын А.Г. О задаче Лэмба для неоднородного упругого
полупространства // Проблемы мат. физики.-Л., 1966.-С. 5-32.
5. Аннакулова Г.К, Ахмедов М.А., Батуров Б.А., Мирзаев И.
Взаимодействие жесткого ударника с упругим полупространством // Мех.
сплош. среды: Материалы Всес. конф. по мех. сплош. среды, май, 1979. Тез.
докл.-Ташкент,
1982.-С. 126-130.
6. Амензаде Ю.А. Теория упругости.-М.: Высшая школа, 1976.-272 с.
7. Ахмедов М.А., Батуров Б.А., Мирзаев И.М. Исследование
взаимодействия жесткого ударника с упругим полупространством // Вопросы
