Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
ttW ?w - v0
,5Г 1 • y + rfem(V<?~X)
2
j--- arcsm -rj-----------------------------
г- +
+ V0 * J tn? + V " *< I
(m = 2, 3),
+ о------arcsm-гг----------------r
- v0 П J Z"? ~ V + x7l
= f-f^1 - Vo>ln IУ " " */) + I "
Ли I-
-Жзд-1) arcsm ^ =
Подставляя (6.82) в (6.80), с учетом выражения (4.43) для
г(;.'2) из (6.69), <6.71) и (6.73) получим окончательную формулу
для нормальных перемещений ш(х, т) при равномерном (4.41) расширении
носителя напряжений (6.72). В силу симметрии задачи функция гфс, г)-
четная по х. Поэтому результат приведем только для х > 0:
pQP(t) 2 глх, х
ф'т) = 2'ТТ+Амг arcsin "Г +
ЖГ1 к= 1
+ 2 Vam(X' Т)}Я(Т " \ I *02 I >Я(Т ~ ^ I *01 I >' (6-83)
т=0
310
где
D., = а
41
*1
*..2
V* - Г v0 Ь1
*Ц-9
> 6, 4(1 - V
20 1)'
(2-^п
(у20-фг&, 1)'
п 6 ^-^2!
п - кт
Ы - Шп'
(6.84)
Dlm = *
Д2 - V\l)4
т' 1т
S Р'Л , !)
'т Зчэт' '
*2" " 9"
,4(1 - С)?
т'ъ2т
imp'A- *)
(от а 2),
' *Wx'T) = xi
я(! " ЗД>)1п
Т + ^Vo/+
'Л
*W*' т> = ^iT + ^
1п
.............. т + ?о*о/
-Я(^Л " х) arct" " 1JTTJJ
*ко Чко i
I hlXOi + ~ V2/o> I
VTsP^
41
-x.ln
ГГ
?"
^kmX0i
^(x'T)=Tarctg^/-,y.+
m
i
T + 4 It* mX0i
2 \ v - ? arc*? 7 -/2 2 2
|V0 ?m ^mVt -V(M
1
v0 + ^
m
rt r-^mX0i \
a (r) ~Z -/ 2 2 2 J
~ У kX0i
(m = 2, 3).
Напомним, что формула (6.83) получена в предположении о наличии трех
действительных различных корней у многочлена P3(z, 1). Однако она
остается справедливой и в случае равенства
нулю дискриминанта А3(к) (?2 = ?3 е Л), и при Д3(к) < О
(?2 = ?3 G С). Во втором случае функции, входящие в (6.84),
необходимо понимать как главные ветви соответствующих многозначных
функций комплексного переменного. Для частного
311
случая акустической среды (к -* 1) подобный подход рассмотрен в следующем
параграфе.
Решение (6.83) справедливо во всем диапазоне скорости расширения
носителя напряжений, vQ > 0. Однако коэффициенты
и функции в представлении перемещения (6.83) имеют особенности при Vq = ?
. Перемещения же ги(х, г) являются ограниченными функциями.
Действительно, например, при скорости vQ, стремящейся к скорости
распространения волн Рэлея с_ = %.,
Л 1
имеем (е = г>0 - ^):
Р ^
гфс, т) = ~Н(хг) J Я(т - rjk | xQ2 | )Н(т - т}^ | х01 | ) х *=1
1
Х2 DkmPk2nS-X' Т) + °(V = (? - °)>
т=О
D10 = D\+e~l + °(1)' °20 = + 0(1) (е-*0),
_ п Г~1 п " ^Ь2 п ^11^21
k\ " k* > 1* " 7 > Do* - 'у " w"S5)
" " 25,p2g;,i) 2< ?,p2ef,i)
?**>(*>T) = ni*(x'T) + °(?)'
<Рш(х'T) = ~fkiSx'x) + °(?) (e - 0),
?*/.(*•T) = *1ln
Рассмотрим теперь возможность наличия бесконечных разрывов у
перемещения го(х, т). Как следует из формул (6.84) подобные особенности
возможны на прямых r = I xoi I =
= | xQ. | /cR. На прямых х. = 0 в силу структуры функции <pkjQ
разрывы отсутствуют. Соответствующие преобразования показывают, что
множества
Т + ^ЛХ0/ + ~ Ч*х0г =
hixOi + ^xl-vUi=0 совпадают с прямыми
х. = 0.
312
Сдедовательно, достаточно исследовать непрерывность ги(х, г) на
множествах т = | xQ. | /ц. Положим е = - | JcQf |. Тоща из
(6.83) и (6.84) получим Ро -Л
*) = -4^2)2, Dk\Via\(x' т)я(т - t ^021) x Щ *=1
x H(t - tfk I *01 I ) + 0(e) (e -* 0).
(6.86)
Носителями соответствующей особенности являются функции
fkil(x,x). Причем, как следует из (6.84), она может иметь место
тлько при xQ. < 0:
VkiS*' Т) = (^1Т + Х°') ln ^ + *1х1 I
~2 (^iT + x0f ~ *<] ln I ^iT ~ x0i I + =
~ + ^1 *0г) 1П ^ ^klX°' + ^ ^ Х°' ^ + h\+ ^
V _ ?
1*<к1 +Vln Iе I + 0(1) = 0(1), (6.87)
I xQi I +J^+ °(?)) (? * °)-
Из разложений (6.86) и (6.87) следует ограниченность перемещения ги(х, т)
на прямых т = | ж | и, следовательно, на всей
плоскости хт.
Достаточно простой вид приобретают формулы (6.83) и (6.84) на прямой
х = aQ (xQ2 = 0):
