Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
HiLlxV = llbIWt (3.72)
можно рассматривать как уравнение движения (3.71, а), что и позволяет, в конечном счете, определить оператор Гамильтона УЛ Для этого в случае произвольных у-мат-рнц, удовлетворяющих перестановочным соотношениям (1.30) y,„Y„ + V7lYm = 2?"„f„, с помощью формул (3.42), (3.43) и (3.72) находим оператор Гамильтона в координатном представлении
Ж = '1)! // -ih (DuD,'1 + DnU+UDiV '), (3.73)
соответствующем сделанному выбору у-матриц. Причем матрицы Dо и DiV 1 задаются соотношениями (3.38) и (3.39), если у-матрицы выбрать так, что Y12=I, а антиэрмитову матрицу U+U можно найти из формулы (3.67) или непосредственно из соотношения (3.57).
89 После этого дифференциальный оператор X выражается через матрицы a-, ?, S- и оператор импульса в координатном представлении (2.108)
Pi= ^i-IhD +Si(D+)-1.
Эти матрицы, являясь аналогом матриц а, ? и оператора спина S = H/2ау (см., например, [62]), определяемых в инерциальных системах отсчета, могут быть найдены из соотношений
$:=? (3.74)
Pf=P^(yY = y'\ (3.75)
Р?] = 0; (3.76)
(3.77)
{aA,a?)=2ilSi; (3.78)
[ах, PiI=O, [р., $] = 0, [Sft, Pil = O; (3.79)
?2 = /; (3.80)
бал _ 6р* oS- _ o? _п. /QQn
- --Jt - її^8u
(3.82)
где ковариантные производные в пространстве представлений (O/6A,) определены в соответствии с (2.60) и (2.61), например:
^tm = jSt«й1. S = DoOo"1 + DoU+ UDo] •
В частности, если у-матрицы выбраны так, что у12=\ и U+U = 0, то матрицы a-, ^hS* могут быть представлены в виде
а- = Doa-Do"1 = a ^Uni/п — -a^n«J2n3A2-ie\«a* уп*/п; (3.83)
$ = Do?Do'1 = ?lmnm/n + IykWnm/п- (3.84)
Здесь индексы со знаком «Л» относятся к 3-мерному эвклидову пространству представлений (координатами в нем служат параметры
уа\ которое в общем случае не имеет ничего общего ни с реальным физическим пространством, ни с локальными касательными пространствами Минковского. Поэтому, например, у^ — в общем случае не тетрадные компоненты у-матриц Дирака.
90
(3.85)
где я o o
П; = п* = {yu), y)n'/2- a-= a(v) = y(4)y(v);
hmn = gmH+Un (3.86)
— проекционный тензор, а величины піч п, Ii, А находятся из формул (3.23), (3.26), (3.34) и (3.37). В результате последующей замены в Ж матриц a-, ?, S^ и дифференциальных операторов р^ на соответствующие операторы гильбертова пространства находится искомый оператор Ж.
Следовательно, используя общековариантное уравнение Дирака, в общем случае можно найти оператор Гамильтона определяющий динамику вектора состояния \ЧТ> и произвольного оператора 3? в гильбертовом пространстве (2.46), а исходную квантовомеханическую систему можно рассматривать в рамках традиционной квантовой механики. Свойства же системы отсчета и пространства-времени при этом входят в оператор Гамильтона Ж в форме потенциалов. Тем самым граничная задача, представляющая определенные трудности при решении уравнения Дирака во внешнем гравитационном поле, сводится к аналогичной задаче традиционной квантовой механики. Имеет ли квантовомеханическая система, например атом, связанныесостояния — это другой вопрос, решение которого зависит от конкретного случая. Так, при г = со/с метрика во вращающейся системе отсчета становится сингулярной. В рамках развиваемого здесь подхода к построению квантовой механики в неинер-циальных системах отсчета сингулярными становятся потенциалы (при г = со/с), входящие в оператор Гамильтона. При рассмотрении в этой системе отсчета некоторой физической системы, например атома, получим, что при г<о)/с (здесь г описывает положение самого атома) атом может иметь связанные состояния, а неинерциальность системы отсчета проявится в виде небольших поправок к его спектру. Если же, напротив, г~о)/с, то обнаружится, что атом как целое в указанной области существовать не может.
В ряде случаев для нахождения оператора Гамильтона удобнее пользоваться одним представлением, а при последующем рассмотрении квантовомеханической системы
91 (например, при решении уравнений движения) — другим. Тогда осуществляющие новое представление матрицы и дифференциальные операторы должны выбираться в соответствии с соотношениями (3.74)—(3.82). Существенно, что нормировка волновой функции также должна согласовываться со сделанным выбором *) и интегрирование проводится в пространстве представлений, не имеющем в принципе ничего общего с конкретным физическим пространством.
Общую схему построения квантовой механики в нс-инерциальных системах отсчета и во внешних гравитационных полях можно представить так:
Интерпретация общековариантного уравнения Дирака как уравнения движения традиционной квантовой механики в координатном представлении і
Нахождение оператора Гамильтона и запись уравнений движения в гильбертовом пространстве і
Решение найденных уравнений, записанных в наиболее удобном для этого представлении (не обязательно координатном!)
С целью иллюстрации схемы построения квантовой механики в неинерциальных системах отсчета и внешних гравитационных полях вернемся к примеру, который мы начали рассматривать в § 3.1. Сейчас мы уже в состоянии показать, что различные наборы у-матриц (например, (3.7) и (3.10)) приводят к одному и тому же оператору Гамильтона.
