Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Связь между алгебрами Ли (или локальными группами) и группами Ли в целом описывается фундаментальной теоремой Картана, называемой также третьей теоремой Ли.
Теорема 2. Каждая конечномерная алгебра Ли g является алгеброй Ли некоторой группы Ли.
Доказательство этой теоремы опирается на некоторые дополнительные свойства алгебр Ли, в частности, на теорему Леви-Мальцева (см. §1 в гл. 4). Доказательство Картана дано в [48], а также в [9]. Более простое доказательство опирается на теорему Адо, утверждающую, что каждая конечномерная алгебра Ли имеет точное конечномерное линейное представление. Это доказательство можно найти в книгах [18] и [53].
Утверждение 3. Каждой алгебре Ли g соответствует единственная связная односвязная группа Ли G, для которой g является ее алгеброй Ли. Все связные группы Ли Go, такие что fle(Go) = 0, имеют вид G/Г, где Г — дискретная инвариантная подгруппа^ принадлежащая центру группы G.
Доказательство. Пусть Go — группа Ли, имеющая алгеброй Ли алгебру 0, существование которой гарантируется теоремой 2. Будем считать ее связной (если это не так, то под Gq будем понимать ее связную компоненту единицы). Пусть G — ее универсальная накрывающая. Проекция р: G Go является гомоморфизмом групп Ли. Его ядро — дискретная инвариантная подгруппа Г , принадлежащая центру группы G (см. п. 1.4 гл. 1). Таким образом, каждая группа Ли Go, имеющая 0 своей алгеброй Ли, представляется в виде G/T. Если GhG' — две односвязные группы Ли с одной и той же алгеброй Ли, то согласно утверждению 2 они локально изоморфны. Локальный изоморфизм Ф продолжается § 5. Дифференциальная геометрия на группах JIu
183
до глобального гомоморфизма Фі: G —> G', а обратное отображение также продолжается до глобального гомоморфизма Ф2- G' -ь G. Отображения ФіФ2 и Ф2Фі являются тождественными отображениями в окрестности единицы. Поскольку G и G' связны, то эти отображения продолжаются как тождественные на всю группу. Поэтому Ф2 = Ф^1 и группы GkG' изоморфны. Теорема доказана.
В заключение этого пункта приведем без доказательства теорему о соответствии между подалгебрами и подгруппами, индуцируемую экспоненциальным отображением.
Теорема 3. Пусть G — группа Ли, a H — подгруппа Ли в G. Алгебра Ли і) группы H является подалгеброй в алгебре Ли 0 группы G. Каждая подалгебра в g является алгеброй Ли только одной связной подгруппы Ли в G.
§ 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли
5.1. Аффинная связность и геодезические на гладком многообразии. Операция левого (правого) сдвига на групповом многообразии наделяет его содержательной геометрией. Благодаря сдвигам группа Ли становится пространством с аффинной связностью. Прежде чем изучать группы Ли с этой точки зрения, напомним основные понятия теории таких пространств.
Говорят, что на многообразии M задана аффинная связность, если каждому векторному полю А ставится в соответствие оператор Vi в пространстве векторных полей P(M), такой что выполняются условия
VAA+AB = f^A + /aVjj, VA(fB) = (Af)B + JViB1
(5.1)
где /1,/2,/ Є C00(M) и А, В Є P(M). Оператор Vi можно применять не только к векторным полям, но и к дифференциальным формам и другим геометрическим объектам. Его 184 Глава 2,
называют оператором ковариантной производной относительно векторного поля А.
Рассмотрим оператор VyJ в некоторой окрестности U С М, точки которой имеют координаты х (t*(a:)}. Пусть вектор-
ные поля Xi = —"— составляют базис левого модуля Sf(U)
dt'(x) _
над алгеброй функций C00(U) и пусть A=Y а'(х)—^— п . „ i=i Ott (х)
и B=Y Ь*(х)—-— — произвольные векторные поля І=1 Ot1 {х)
в окрестности U. Используя свойства оператора VyJ из условия (5.1), вычислим результат действия оператора V^ на векторное поле В:
U'=1
= E (+ bi^v***) (5-2)
Из этой формулы видно, что оператор VyJ определен, если задано его действие на базисные векторные поля Xi. Функции Tjj- на U С М, определяемые из формулы
к=1
однозначно фиксируют оператор VyJ в локальной системе координат. Их называют коэффициентами аффинной связности. Использовав их, придадим формуле (5.2) стандартный вид ковариантной производной векторного поля В относительно поля А:
VrВ = У Ui(X) I + У Tti(X)V(X)) -4—. (5-3)
ijii \dtl(x) fri ,jV 1 ') dtk(x) К >
Если сделать замену локальных координат (<'(ж)} —» —t {і'*(ж)}, то в новых координатах коэффициенты аффинной § 5. Дифференциальная геометрия на группах JIu
185
связности будут иметь вид
, JU дГ(х) Oti(X) Of1 (х). (
ms .^L1 Ofm(x) Ofs(x) Otk(x) цк '
" OHi(x) Of1(x)
Ofm(x)Ofs(x) ОР(х)' ( ' '
Из этой формулы видно, что совокупность функций Г^-(ж) не образует тензорного объекта.
Если Ф — диффеоморфизм многообразия M в себя, то формула
vI^ = (V^B*)*-1
определяет новую аффинную связность V* на М. Коэффициенты этой связности выражаются через коэффициенты связ-
^ - /- „Л dt'\x) ности V формулой типа (5.4), где производные —:- заме-
0('*(Ф(а:)) dt^x)
йены на производные-:-.
dt3(x)
Аффинная связность V называется инвариантной относительно Ф, если V* = V.B этом случае диффеоморфизм Ф называют аффинным преобразованием.
