Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
То, что U(n) — группа Ли, можно доказать многими методами. Один из простейших — воспользоваться отображением Кэли. Образ отображения Кэли унитарной матрицы является антиэрмитовой матрицей. Действительно, если g Є U(n), то
t*(u) = (е + и*)-1(е - и*) = (е- и-^ии-^е + и'1)-1 = = (и- е)(е + и)-1 = -t(u).
Как и в случае ортогональных матриц, det (е + t(u)) / О, а поэтому существует обратное преобразование t —> u(t) = § 2. Группы Ли. Матричные группы 147
= (1 — ?)(1 + і)-1. Таким образом устанавливается гомеоморфизм окрестности единицы Ue = {и Є U(n) I det (e+t(u)) ф 0} на открытое множество линейного пространства антиэрмитовых матриц, имеющего размерность п2. Локальными координатами матрицы UEUe являются матричные элементы tij(и) матрицы t(u).
Заметим, что доказательства того, что матричные группы O(Ti)1 0(jp,q), Sp(n, R) и U(ri) являются группами Ли, есть по существу иллюстрация к фундаментальной теореме Картана:
Теорема Картана. Если подмножество G' некоторой группы Ли G является одновременно группой и замкнутым подмножеством топологического пространства G, то G' — евклидово подмногообразие в G, а следовательно, замкнутая подгруппа Ли.
Доказательство этой теоремы базируется на взаимосвязи группы Ли с алгеброй Ли, а также на свойствах экспоненциального отображения. Об алгебрах Ли, группах Ли и экспоненциальном отображении речь пойдет в следующих параграфах.
Группы 0(п), 0(p,q), Sp(n,R), U(n) и другие подобные им группы являются подгруппами и замкнутыми подмножествами в группе Ли GL(n,R) или в группе Ли GL(n,С). Поэтому согласно теореме Картана они являются группами Ли.
2.2е. Псевдоунитарная группа U(p, q). Диагональ-
р я
> ------1S У ** Ч
ная матрица В = diag (1,1,... , 1, —1, —1,... , —1), р + q = п определяет псевдоэрмитово скалярное произведение в Vg и соответствующую группу преобразований, сохраняющую это скалярное произведение. Это — псевдоунитарная группа
U(p,q) = (и Є GL(n,C) \и*Ви = В},
являющаяся вещественным аналитическим многообразием
(а следовательно, группой Ли) размерности п2, вложенным
2
в комплексное пространство (С™ .
2.2ж. Комплексная ортогональная группа 0(п, С).
Эта группа совпадает с
0(п, С) = {g Є GL(n, С) IgTg = є]. 148
Глава 2,
Заметим, что все группы 0(р, q; <С), р + q = п, изоморфны между собой (и следовательно, изоморфны группе 0(п, С)). Действительно, преобразования ei —> Єї,... ,ер —> ер, ер+і -> -> іер+і,... ,Єр+, -> іер+<2 ортогонального базиса пространства Vg приводят к преобразованию В E матрицы -В и к соответствующему изоморфизму групп.
2.2з. Компактная симплектическая группа Sp (п). Эту группу можно определить как группу линейных преобразований кватернионного пространства Hn еіх...хі, сохраняющих положительно определенную полуторалинейную кватернионную форму. Пусть р = (рі,рг,. •. ,pn) Hq = = (QiiQ2i- ¦¦ -,Qn) — кватернионные векторы из пространства Hn. Положим
(p,q) =Pift +Р2Я2 + ---+Pn In, (2.10)
где черта сверху означает кватернионное сопряжение: р = Pq-— ipi — JP2— крз. Тогда кватернионные матрицы, сохраняющие форму (2.10), образуют группу
Sp (n) = {ge Mat (п, И) I gg* = е).
Если реализовать единичные кватернионы матрицами
то тогда Sp(n) — подгруппа в GL(2n,С). Кроме того, сопряжение кватернионной матрицы g —> g* можно представить в виде
Tl
g* = -J'f?J', J' = diag(jJ^~J)-
Очевидно, что матрица J' эквивалентна матрице J в определении симплектической группы. Поэтому Sp (п) является подгруппой в Sp (п, С). С другой стороны, учитывая то, что кватернионы образуются путем удвоения комплексных чисел, то есть Qj = Zj + Wjj, JTj-Uj- VjS, форму (2.10) записываем в виде
Tl Tl
(p,q) = + ViWi) + - ViZiYi,
i=l i=l § 3. Локальное исследование групп Ли
149
или, определив векторы у = («і,... ,Un, Vi,... ,Vn) є C2n, X= (Z1,... ,ZntW1,... ,Wn) Є C2n, в виде
(р, q) = #(х, у) + П'(у, x)j, (2.11)
где H(х., у) — эрмитова, a i)'(y,x) = (у, J'x) — симплекти-ческая формы. Очевидно, что форма SV эквивалентна форме Si. Сохранение формы (2.11) означает сохранение отдельно эрмитовой и симплектической форм. Отсюда делаем заключение, что
Sp (п) = U(2n) Л Sp (п, С).
2.2и. Некомпактные симплектические группы Sp (п, то). Эти группы определяются как группы преобразований кватернионного пространства Hn+m, сохраняющих индефинитную форму
(Р, Ч)' = P1Qi + • - • + PnQn - Pn+i9n+i - -.. - Pn+mQn+m-
Рассуждения, аналогичные проведенным выше, позволяют утверждать, что
Sp (п, т) = U(2n, 2т) П Sp(n + т, С).
§ 3. Локальное исследование групп Ли
3.1. Структурные дифференциальные уравнения групп Ли. Будем исследовать свойства функций fl(g1,g2) = = f* (tHgi), ^ (g2)), являющихся координатами произведения элементов g1 и gi в локальной карте окрестности единицы и определяющих там структуру группы Ли. В частности, найдем дифференциальные уравнения на эти функции и условия существования решений этих уравнений.
Локальные координаты f(g) будем выбирать так, чтобы tl(e) = 0. Условия аналитичности функции /*(g1, g2) означают сходимость по совокупности переменных {iJ(gi)} и {t*(g2)} соответствующих рядов Тейлора в некоторой 150 Глава 2,
