Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
ЧЫ h = ( _\ -'). Если g = (25) Є SL(2,W), то
T (a H- d H- i(b - с) с H- b + i(a - d)\ ййЛ-1 = W = J І І Є St7(l,1).
1 \с + b - і(а - d) a + d — i(b — с) J § 5. Группы пространственных симметрий 83
Матрице ft-1, как элементу группы SL(2, С), соответствует дробно-линейное преобразование, отображающее единичный круг D2 в верхнюю полуплоскость E2 комплексной плоскости:
г-1 :?—»«;= т-4—т, Im „ = * '
іЄ-i l + |4|2-2Im4
При этом риманова метрика (5.11) принимает вид
4 (Іти;)'*
Верхнюю полуплоскость вместе с метрикой (5.24) будем отождествлять с гиперболической плоскостью и обозначать через H2. Очевидно, что H2 является однородным пространством относительно дробно-линейных преобразований
^-?=?? С 9 е 5iM' (5-25)
и эти преобразования оставляют инвариантной метрику (5.24).
Легко видеть, что стационарной подгруппой точки і = = v/^T Є H2 является подгруппа К матриц
cos I sin f -Sinf COsfy
О ? в < 4тг.
п{г,ц) = ^ Є SL(2,E), г > 0, ц Є Е,
действуют просто транзитивно (эффективно) на пространстве H2, то есть каждой точке w = х + іу Є H2 соответствует одна матрица п(г,ц), такая что п(г, ц)\ = w. Это матрица, в которой у = г2, X = ?r. Поэтому существует проекция
7г: 5L(2,Е) Я2 ~ K\SL(2,Е).
Ее явный вид вытекает из такого утверждения. 84 Глава 1
Утверждение 3. Любой элемент gR группы SL(2,М) можно представить в виде произведения
gR= (с ty=ma(r)n(x) =
cos I sinf\ /г о \ Л 0\ sinf cosfjlo ^JU і)" {526)
При этом
r = (b2 + d2)~1/2, X = (ab + cd)r2, cos f = dr, sin f = br.
Это утверждение доказывается прямыми вычислениями.
Проекция 7г задает в многообразии группы SL(2, К) структуру расслоения, базой которого является гиперболическая плоскость H2, а слоем над каждой точкой — группа К, то есть окружность. Это расслоение однородно относительно правого умножения в группе.
Обозначим через UH2 расслоение касательных к H2 векторов длины 1 относительно метрики (5.24). В локальных координатах элементы пространства UH2 имеют вид
(2у cos в, 2у sin в, W = х + іу) Є UH2.
Изометрия (5.25) распространяется на пространство UH2 и действует там согласно формуле
(2 у cos в, 2 у sin 0, W = ж + і у) -»
^ (2у' cos в', 2у' sin в', x' + iy' = ,
где
y'cose' = y(%cose + %sine)>
у' sin в' = у ^ ^ COS в + ^ sin 6^ . (5.27) § 5. Группы пространственных симметрий 85
Легко видеть, что группа PSLi2,Е) ~ SL(2,E)/{e,-е} транзитивно действует на UH2 и стабилизатор любой точки совпадает с единичным элементом этой группы. Следовательно, мы можем отождествить UH2 и PSLi2, Е) как топологические пространства. С другой стороны, сопоставляя формулы (5.27) преобразований касательного пространства с преобразованиями элемента к(в) Є К в разложении (5.26), видим, что расслоение т] = {SL{2, Е), тг, Н2} отображается на расслоение UH2 и это отображение является двукратным накрытием. В терминах расслоения т] групповая операция в SLi2, Е) задается в виде
ДО - (*(* + 2 Argiwib2 + d2)), ^f) ,
где Arg W — главное значение аргумента иг. —тг < Arg w < тт.
Обозначим через SLi2, Е) универсальную накрывающую для группы SLi2,Е). Очевидно, что SLi2, Е) накрывает также и группу PSL(2, Е) ~ UH2. Учитывая пример в п. 4.4, видим, что тгі(f/H2) ~ Z (где Z — аддитивная группа целых чисел), и универсальная накрывающая SLi2, Ж) имеет структуру линейного расслоения над H2, которое является тривиальным, и как топологическое пространство эквивалентно прямому произведению E X H2. Следовательно, элементами g Є SLi2, Е) следует считать пары (в,и>), в Є Е, w Є H2, операция умножения для которых определяется по правилу
(в,+2 Argiwib2+ d2), ^f)-
Центр Z группы 5L(2, Е) изоморфен группе целых чисел, а именно
Z= {(2тгп, v/=T)|nGZ}.
Универсальную накрывающую 5L(2, Е) можно также описать в терминах центральных расширений, используя результаты § 2 этой главы. 86
Глава 1
5.9. Группа Пуанкаре и группа конформных преобразований в пространстве Минковского. Неоднородные преобразования пространства Минковского M^з
X -> gx + b, (5.28)
где g Є 0(1,3), b Є Mii3, образуют группу, известную под названием группы Пуанкаре (не смешивать с фундаментальной группой топологического пространства, которую тоже иногда называют группой Пуанкаре). Будем обозначать ее через Р(1,3). Элементами этой группы являются пары (g,b), а групповое умножение осуществляется за правилом (gi,bi)(g2,l>2) = (gig2,gib2 + bi). Отсюда видно, что группа Пуанкаре имеет структуру полупрямого произведения группы псевдоортогональных преобразований 0(1,3) на группу трансляций T (4). Подгруппа трансляций является абелевой группой, изоморфной пространству М^з, и на ней псевдоортогональная группа действует линейными изометриями.
Как уже отмечалось в разделе 1, группа неоднородных преобразований (движений) евклидового или псевдоевклидо-вого пространства, дополненная растяжениями
X -> рх, р Є К+, (5.29)
называется группой преобразований подобия. Определим в пространстве Mij3 также отображения инверсии относительно единичной гиперсферы Hs = {х Є Mi 3 I X2 — х2 — х\ —
