Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
(q 0 0 0\ /q 0 0 0\
О 1 0 0 0 q-q'1 1 0 .
0 q-q-1 1 0 ' R~ 0 1 00 Г (231)
ООО q) \0 0 0 q)
2.6. Коэффициенты Рака квантовой алгебры Ut^Sl2). Коэффициенты Рака алгебры l/g(sl2) определяются так же, как в случае группы Ли 517(2) (см. п. 5.12 гл. 3). А именно, рассматриваем тензорное произведение
(Tll ® Ti2) ® Tl3 = Th ® (Th ® Th) 460 Глава 2,
неприводимых представлений квантовой * алгебры Uq(Sl2). В пространствах Sji, Sj2, Sj3 представлений Tj1, Tj2, Tjs вводим соответственно ортонормированные базисы {еу}, (?}, {hm}. Аналогично формулам (5.66) и (5.67) гл. 3 вводим базисные элементы
e(h/2)Ws,/ = ? ® f,) О hfc,
eh ,(Ms)W = YcHtscinf ® (fi ® h^'
где C1-Ifll - коэффициенты Клебша-Гордана алгебры Uq(sl2). Эти базисные элементы связаны унитарной матрицей
e(hh)ii2,h,i = ? Uq(hhh, I12I23, ЦеЬЛЬЫЫ.
'23
Как и в классическом случае, элементы Uq(l\l2l2,l12l23,l) этой матрицы не зависят от номеров базисных элементов. Их называют коэффициентами Рака квантовой алгебры Uq(sl2), или q-коэффициентами Рака. Унитарность матрицы U означает, что (/-коэффициенты Рака удовлетворяют соотношениям ортогональности, которые записываются так же как в классическом случае (см. формулы (5.70) и (5.71) гл. 3). Для (/-коэффициентов Рака существует аналог формулы (5.72) гл. 3. Из нее выводится формула
uq(hi2i2,112I23, i)c^i+j+k = h h
_ \ ' \ ' /-Л1Ы12 v /-^hhha /-ihlml
~ / j / j i+i 0j,fc,i+fc0i,3+fc,t+j+fe'
і=—11 j=-12
где суммирование ведется по тем допустимым значениям г и j, для которых г + j = const. Это соотношение используется для вычисления (/-коэффициентов Рака (см., например, [76, 130, 133]). Часто вместо (/-коэффициентов Рака используются 6.7-символы Вигнера
{!з Ї hl} =(-1)'1+,2+,3+'([2'і2 + 1][2/23 + 1])-1/2х
X uq(hl2l3,112I23,1). §2. Квантовая алгебра {/,(sh)
461
Явные выражения для б^'-символов Вигнера алгебры Uq(Si2) и их свойства см., например, в [76], гл. 3.
2.7. Представления алгебры CZ4(Sh): д — корень из единицы. Пусть qp = 1, где р — целое положительное нечетное ЧИСЛО, и Qn ф 1 при 1 ^ п < р.
В этом случае справедливо следующее утверждение: Каждое неприводимое представление алгебры Uq(Sl2) конечномерно. Действительно, неприводимое представление T переводит элементы центра Sf в скалярные операторы. Поскольку элементы кр, к~р, Е+р, Е~р содержатся в центре (см. п. 2.1), то T(Uq(sl2)) совпадает с линейной оболочкой операторов Т(Е+ткгЕ-п), 0 ^ m, n ^ р -1, -(р - 1) ^ г ^ р - 1. Поэтому если V — ненулевой вектор из пространства представления V, то T(Uq(Sl2))V является конечномерным инвариантным подпространством. Поскольку T — неприводимое представление, то T(Uq(sl2))v = VnV — конечномерное пространство.
Теперь наша цель — дать классификацию неприводимых представлений алгебры Uq(Sl2) когда qp = 1. Для этого заметим, что операторы Ti(Е+), Ti(E-), Ti(k) и операторыTiu(Е+), Тіш(Е_), Tiw(к) из п. 2.3 также определяют представления алгебры Uq(sl2), когда qp = 1. Но не все эти представления являются неприводимыми.
Кроме того, введем 3-параметрическую семью представлений Tabx, где а, Ь и А — комплексные числа, такие что А ф 0. Пусть V — р-мерное векторное пространство с базисом єі, і = 0,1,2,... ,р — 1. Непосредственно проверяется, что операторы
Таьх(Е~)еі = Єі+i, г < р — 1, ТаЬХ(Е-)ер-! = Ье0, (2.32)
.33)
ТаЬХ(Е+)ео = аер_і, Таьх(к)еі = Q-Aei (2.34)
ТаЬх(Е+)еі = ^fib+ \i]qXql lq_Xq-\qt ^ ei-i. »' > 0, (2-S
в пространстве V удовлетворяют соотношениям (2.18) и (2.19), а следовательно, определяют представлення алгебры Uq(sl2), обозначаемые через Таь\.— 462 Глава 2,
Поскольку E1 и EL принадлежат центру алгебры Ug(Sl2), то в неприводимых представлениях T операторы T(El) и T(EL) кратны единичному оператору. Будем различать три случая:
1) Т(Е%) = T(EL) = 0;
2) T(El) Ф 0 и T(EL) ф 0;
3) Т(Е\) T(Et) = 0 или Т(ЕР+) = 0 и T(EL) ф 0. Случай 1: T(Ep) = T(EL) = 0.
Неприводимые представления в этом случае характеризуются таким утверждением.
Утверждение 1. (!) Представления Ti и Titll из п. 2.3 являются неприводимыми тогда и только тогда, когда 21 < р. Неприводимые представления Ti и Tiu попарно неэквивалентны и удовлетворяют условию T(El) = T(EL) = 0.
(ІІ) Представления Tooa неприводимы тогда и только тогда, когда А ф uiqn, п = 0,1,... ,р—2; ui = ±1, ±i. Неприводимые представления Toox попарно неэквивалентны.
(iii) Пары р-мерных неприводимых представлений Тоох, А = ыдр_1, ui = — l,±i, и Т(p-i)/2,a;> я также представлений Tooaj А = qp~l, и T(p_i)/2 эквивалентны.
(iv) Любое неприводимое представление T алгебры Ug(Sl2), такое что T(El) = T(EL) = 0, эквивалентно одному из представлений из (і) или (ii).
Доказательство этого утверждения см. в [76], раздел 3.3.
Случай 2: T(El) ф 0, T(EL) ф 0.
В этом случае неприводимые представления называют циклическими. Циклические представления характеризуются следующим утверждением.
Утверждение 2. (І) Представления Т„ъх неприводимы и цикличны тогда и только тогда, когда ни один из коэффициентов а&+[г']д(Ag1 -* — A</*-1)(g—Q-1)~1, і = 0,1,... ,р— 1, (в частности, параметры а и Ь) не зануляется. §2. Квантовая алгебра {/,(sh)
