Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
S(d) = 1, 6(c) = О, S(H)=O при НЄІ).
Получаем пространство \)'R — t)'R + K^ линейных форм на {).
Как и в случае полупростых комплексных алгебр Ли, аффинные алгебры Ли можно разложить в прямую сумму g =
= {) + J^Sa корневых подпространств, где А Є i)'R. В отличие А 396
Глава 2,
от комплексных полупростых алгебр Ли у аффинных алгебр корневые подпространства дд многомерны, а число этих подпространств бесконечно. Таким разложением является
(4-14)
-уЄД
где система корней Д совпадает с
А - {т6\т Є Z, т ф 0}U {тпб + а\тп Є Z, а Є Д}, (4.15)
а корневые подпространства задаются формулами
Qms = tm®\), gmA+a = tm ® g«, (4.16)
причем Z ¦— множество всех целых чисел, Д — множество всех корней алгебры Ли д, да — корневые подпространства этой алгебры. Действительно, непосредственная проверка показывает, что для всех а Є g-, и ft Є і) имеем [ft, a] = y(h)a. To, что сумма в правой части разложения (4.14) прямая, вытекает из сравнения корневых подпространств (4.16) с базисом (4.4). Из (4.16) видно, что
dimgm5 = I, dimgm5+0 = 1, (4.17)
где I — ранг (размерность подалгебры Картана) алгебры Ли д. Корни тпб + а, а Є Д, называют вещественными, а корни тё — мнимыми.
Легко проверить, что подалгебра
— QmS + Cc me Z
алгебры g изоморфна бесконечномерной алгебре Гейзенберга.
4.3. Простые корни и схемы Дынкина. В системе корней Д можно выделить систему П простых корней, то есть таких, что каждый корень 7 Є Д представляется в виде суммы корней из П только с положительными или только с отрицательными целыми коэффициентами. В первом случае корни называют положительными, а во втором — отрицательными. § 4. Аффинные алгебры JIu и алгебра Bupacopo
397
Чтобы задать простые корни алгебры д, заметим, что среди положительных корней простой алгебры Ли g есть такой корень в, что все остальные корни из Д получаются путем вычитания от в простых корней. Из результатов пп. 2.2-2.5 легко выводится, что если корни записаны с помощью введенных в этих пунктах векторов е*, то для классических простых алгебр Ли Ai, Bi,Ci,Di корень в имеет вид
для алгебры Ai : в = Єї — ej+i,
для алгебры Bi : в = Єї +
для алгебры Ci : в = 2еі,
для алгебры Di : в = Єї + ег-
Легко проверить, что система простых корней П аффинной алгебры Ли g состоит из корней
а0 = S- в, CH1, а2,... ,сц,
где c*i, а2,... , сц — простые корни простой алгебры Ли д. Заметим, что
a0(d) = l, ai(d)= 0, г = 1,2,... ,і. (4.18)
Построим для д систему порождающих элементов, аналогичных порождающим элементам простой алгебры Ли д, приведенным в теореме 9 1. Для этого в корневых подпространствах де и д_е алгебры д выберем элементы Eg и Е-в, такие что В(Ев,Е-в) = 2/(0,0), и положим
[Ее, -Е-е] = He.
Введем элементы
е0 = t ® Е-е, /о = t-1 ® Ев. Тогда в алгебре g имеет место соотношение
К/о] = 7Arc-(l®He) ЄЇ. 398
Глава 2,
Теперь пусть Ні, Ei, Fi, i=l, 2,... , /, —- элементы простой алгебры Ли из теоремы 9 § 1. Рассмотрим в g элементы
hi = \®Hi, єі = 1 <8 Ei, /,- = 1 <8 Fi, t = l,2,...,/,
(4.19)
ho =
{в, в)
с - (1 ® He), e0 = t® Е-о, /о = t-1 ® Et
(4.20)
Матрицу
А = (aij)i,j=o = ("j(fti))',i=o
называют матрицей Картана аффинной алгебры д. Элементы (4.19) и (4.20) порождают алгебру д, причем для них выполняются коммутационные соотношения
[/if, hj) = 0, [et, fj] = Sijhi, [ft,-, ej] = Uijej, [ft,-, fj] = —aijfj, (ad eif-^'ej = 0, (ad fi)1'^ fj = 0, i,j = 0,1,... ,/.
(4.21)
Более того, эти соотношения (при заданной матрице Картана) определяют аффинную алгебру g с точностью до изоморфизма однозначно.
Пример 1. Простыми корнями аффинной алгебры А},I > 1, являются
с*о = S — («і + «2 + • • • + осі), «і, аг,... ,ац.
Корни
к(а0 + ... + tti-i) + (к ± l)(ai + ... + ttj-i) + k(dj + ... + аг), к = 1,2,3,..., (К г ^ і, положительны. Матрица Картана алгебры А} имеет вид /2-1 0 ... 0 0 -1 \
-1
0 0 0 V-I 0 0
0 0 0
-1 2 -1 0-1 2 / § 4. Аффинные алгебры JIu и алгебра Bupacopo
399
Пример 2. Аффинная алгебра Ли AJ имеет простые корни ао = S — а і и «і. Положительные корни исчерпываются корнями
Как и в случае комплексных полупростых алгебр Ли, аффинные алгебры 0 можно характеризовать схемами Дынкина, которые состоят из простых корней алгебры Ли д. Простые корни изображаем кружочками. Корни Qi и с*г- соединяем Iaij-1 линиями, где a{j — соответствующий элемент матрицы Картана. Если |аіг| > 1, то корни Qi и aj соединяем стрелкой, направленной в сторону корня а,-. Разместив корни Qi, а2> - - • i&i так, как в случае полупростой алгебры Ли д, а корень ао — слева, получаем .такие схемы Дынкина:
(к - + ai = (к - l)a0 + fcai, кб — а і = као + (к — l)ai, к6 = ка0 + коц.
Матрица Картана имеет вид
1 1
°<=>о
1 1
1 1
1 2 2
2 2
Cf \ I > 2
2 1
1 2 2
2 2 1
і 2 3 4 2
1 2 3
12 3 2 1 400
1 2 3 4 5 6 4 2 Числа ao,oi,... ,U1 возле соответствующих простых корней схемы Дынкина определяют линейную форму 6:
S = а0ао + OjQi + • - • + OJQJ, а следовательно, и корень в простой алгебры Ли 0:
