Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Т(Г)ер+1 = T(Y)T(X)ep = Т([Г,Х])ер + T(X)T(Y)ep = = A([Y, JTJJep + А(Г)ер+1 + C{elt..., ер).
Следовательно, формула (7.7) справедлива для всех р. Отсюда вытекает, что подпространство Sj0 инвариантно относительно всей алгебры 0 и что для ограничения T0 представления T на Sjо выполняется формула Tr T0(Y) = A(F)((Iimf)0). Но
Г0([У,X]) = T0(Y)T0(X) - T0(X)T0(Y). Поскольку след Tr имеет свойство Tr AB = Tr BA, то при Y Є Ь ЪгТ0([Г, X]) = X([Y,X])(dimSj0) = 0.
Поэтому A([F, JT]) = 0. Согласно определению векторов ер имеем
Т0(Г)ер+1 = T0QY1XDep + T(X)T(Y)ep. Используя равенство (7.7), отсюда методом индукции по р выводим, что
То(*>„ = A(F)ep, Yeb, р^ 0. То есть Tq(F) = A(Y)I, где I — единичный оператор на Sj0. Поскольку Tq(X) имеет собственный вектор х^Ов Sj о, то х имеет свойства, указанные в формулировке теоремы. Теорема доказана.
Из теоремы Ли легко получить такие утверждения.§ 7. Разрешимые и нильпотентные группы
343
Следствие 1. Неприводимые конечномерные представления разрешимой алгебры Ли одномерны.
Следствие 2. Неприводимые конечномерные представления связной разрешимой группы Ли одномерны.
Справедливо также такое
Следствие 3. Если T — конечномерное представление разрешимой алгебры Ли 0, то в некотором базисе все операторы T(X), X Є д, являются верхними треугольными матрицами.
Доказательство. Если х — вектор из формулировки теоремы Ли, то можно выбрать такой базис ei = х, ... , е„ в Sj, в котором все операторы T(X)1 X Є д, имеют вид
Т(Х)=(А(0° T1(X)) '
где знаком «*» обозначена (возможно ненулевая) матрица-строка, a T1 — представление алгебры Ли д, размерность которого на единицу меньше, чем у Т. Такие же рассуждения применяем к Ti. После конечного числа шагов получаем утверждение следствия.
Очевидным образом следствие 3 формулируется для связных разрешимых групп Ли.
Пример 3. Пусть G — разрешимая группа Ли из примера 2, причем элементы матриц принадлежат R (или С). Обозначим через Ai,... ,An диагональные элементы матрицы g(=G. Тогда
T(S) = Xi(Ai)... Хп(А„),
где Xi, ¦ ¦ ¦ ,X" — характеры (одномерные представления) мультипликативной группы R\ {0} (или С\ {0}), является неприводимым представлением G.
7.3. Нильпотентные группы и алгебры Ли и их конечномерное представление. Напомним, что присоединенное представление алгебры Ли g действует в пространстве самой алгебры g по формуле (ad X)Y = [X, Y]. Алгебру Ли g называют нильпотентной, если все операторы adX, X Є Sj, нильпотентны. Группу Ли G называют нильпотентной, если ее алгебра Ли нильпотентна.344
Глава 2,
Утверждение 3. Линейная алгебра Ли д, состоящая из нильпотентных преобразований, нильпотентна.
Доказательство. Пусть g с L(Sj), где із—конечномерное линейное пространство. Для Z G L(Sj) пусть Rz и Lz — операторы, действующие в L(Sj) согласно формулам RzX = XZ, LzX = ZX. Тогда для ZGg получаем ad Z = Lz — Rz и
Поскольку Z — нильпотентное преобразование, то есть Zk=O при некотором к ^ 0, то ad Z — нильпотентный оператор в Sj. Утверждение доказано.
Теорема 2 (Теорема Энгеля). Пусть g — нильпо-тентная линейная алгебра Ли, элементы которой действуют в конечномерном комплексном пространстве Sj. Тогда в Sj существует вектор X ф 0, такой что Zx = 0 для всех ZGg. Существует базис пространства fj, в котором все элементы ZGg представляются верхними треугольными матрицами с нулями на главной диагонали.
Доказательство. Методом индукции докажем первую часть теоремы. Для dimg = 1 она справедлива. Допустим, что она справедлива для всех нильпотентных линейных алгебр Ли размерности меньше dimg. Пусть b — собственная подалгебра в д, имеющая максимальную размерность. Тогда для всех YGb преобразование adY нильпотентно в g и (adF)b С Ь. Поэтому пространство g можно представить в виде прямой суммы g = b + fj, относительно которой все операторы adY,У Є b, представляются в виде
где Ti — представление ad подалгебры b в b, a T2 — дополняющее представление в пространстве д. Операторы T2(F), YGb, образуют нильпотентную алгебру Ли, размерность которой меньше dimg. Поэтому согласно предположению в Sj существует элемент Z (он не принадлежит Ь) такой, что (ad Y)Z = [У, Z] = 0 для всех YGb. Это означает, что
п§ 7. Разрешимые и нильпотентные группы 345
на b и Z натягивается подалгебра, которая вследствие максимальности b должна совпадать с д. Следовательно, b — идеал в g и д = b + CZ. Пусть теперь Sj0 — подпространство в Sj, состоящее из всех векторов е, для которых Fe = О для всех Yeb. Согласно предположению Sj0 Ф {0}. Для векторов е Є #о и всех Yeb имеем YZe = [F, Z]e + ZYe = 0, поскольку [F, Z] Є Ь прн F Є {^Следовательно, ZSj0 С #о-Ограничение преобразования Z на й0 является нильпотент-ным преобразованием. Поэтому существует вектор х Є Sjo, имеющий свойства, указанные в формулировке теоремы. Вторая часть теоремы доказывается как следствие 3 теоремы 1.
Сформулируем следствия доказанной теоремы, оставляя их доказательство читателю.
Следствие 1. Неприводимые конечномерные представления нильпотентной алгебры JIu 0 одномерны и тривиальны: T(X) = 0 для всех Xeg.