Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
eteiA^Ktei)-1)^)-1, (2-3)
где ?(gi) — функция из Gi в G(Go)- Коциклы вида (2.3) называются кограницами; они образуют подгруппу B2(Gi, C(G0)) в абелевой группе Z2(Gi, С(Gq)). Неэквивалентные расширения сопоставляются с элементами фактор-группы
ff2(Gi, G(G0)) = Z2(Gi, C(G0))/В2(Gi, G(G0)),
которую называют второй группой когомологий группы Gi.
В общем случае, когда значения функции x(gi,gi) принадлежат неабелевой группе Go, множество всех расширений при фиксированной функции ф (если они существуют) также сопоставляется с группой H2(Gi,G(Go))- Действительно, соотношение (2.1) при фиксированной функции ф определяет класс функций x(gi->g2), отличающихся одна от другой функцией (множителем) ?(gi,g2) со значениями в центре группы Go- § 2. Расширения групп
33
Уравнение (2.2) налагает на эту функцию условия коциклич-ности
<W%bg2) =?(glg2,g3)^gsi?(ei,g2))?{g2,gi)~1 X
X ?(gl,g2g3)~1 = е.
Если обозначить через g(Go,Gi,ip) множество неэквивалентных расширений группы Gi группой G0 при фиксированной функции : Gi —> AutGo, то приведенные рассуждения можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 5. Множество S(Go,Gi,ip) допускает транзитивное действие абелевой группы H2(Gi,G(Go)). Другими словами, или Є (Go, Gi, тр) является пустым множеством, или существует взаимно однозначное соответствие между множеством Є (Go, Gi, ip) и группой H2(Gi, C(Go)), причем это соответствие зависит от выбора начального элемента
в 8(G0,Gi,ip).
Чтобы завершить классификацию расширений, мы должны найти условия, при которых расширения существуют. Как уже отмечалось, автоморфизмы tpgl как функция на группе Gi определяют функцию x{glig2) С точностью до элементов центра группы Go, то есть фактически определяют не саму функцию x(gi>g2), а ее образ в группе AutGo- Условие ассоциативности автоморфизмов Tpgl приводит к соотношению
x(gl , g2gs)x(g2, gs)goX(g2 , gs)~1x(gl, g2g3)~1 =
= X(glg2,g3)ll'g.} (x(gl,g2))goTpgz (x(gl,g2)~1)x(glg2,g3)~1,
из которого вытекает, что равенство (2.2) выполняется с точностью до элементов центра, то есть
x(glg2,g3)lpgs1(x(gl,g2))x(g2,g3)~1x(gl,g2g3r1 =
= u(gi,g2,gs) є C(Go). (2.4)
Функция w(gltg2,g3) является 3-коциклом, то есть удовлетворяет уравнению
Sg4u{gl,g2,g3) = U(gig2,g3,g4)u(gl,g2g3,gi)~1 X X w(gi, g2, g3g4)^^1(u(gi, g2,g3)~1)u{g2,g3>g4t)~1 = Є. (2.5) 34
Глава 1
В этом можно убедиться, применив оператор 6 к левой части тождества (2.4).
Множество отображений ш: Gi х G1 х Gi -»• C(Go), удовлетворяющих условию коцикличности (2.5), образует абелеву группу, обозначаемую через Z3IG1, C(G0)).
Если функция u(g1,g2,g3) не равна тождественно единице, то говорят, что она является препятствием к расширению. Если ui(g1,g2,g3) имеет вид
bg»?{gu&) =?(glg2,g3)^g31(?(gl,g2))?(g2,g3)~1 X
x?(gi,g2g3)-\ (2.6)
где ?: G1 X Gi -> C(G0), то такое препятствие можно устранить, переобозначив функцию xiSiiS*)1
x(gl,g2) x'(gl,g2) = x(gl,g2)?(gl,g2)-
Множество коциклов вида (2.6) образует подгруппу B3(Gi,С(Gq)) в группе Z3(Gi,C(G0))- Поэтому препятствиями, которые нельзя устранить, являются элементы факторгруппы
ff3(Gi, C(G0)) = Z3(GuC(G0))Z B3 (GuC(G0)).
Таким образом, тривиальность группы H3(Gu C(Go)) обеспечивает существование расширений группы Gi группой Go- В случае, когда группа Go имеет тривиальный центр, каждой функции ф: Gi —> Aut Go соответствует одно и только одно (с точностью до эквивалентности) расширение. Действительно, в этом случае H3(Gi, {е}) = {е} и препятствий для расширения не существует. Кроме того, H2(Gi, {е}) = {е} и поэтому существует единственное расширение.
2.4. Разрешимые, нильпотентные и простые группы. Коммутативные группы представляют собой простейший (за своим строением) класс групп. Обобщением коммутативных групп являются группы, которые строятся из коммутативных групп путем расширения.
Цепочка подгрупп
G ~ Gi D G2 D ... D Gn = {е}, (2.7) § 2. Расширения групп
35
і для которых Gj+i — инвариантная подгруппа в Gi, 1 ^ г ^ п — 1, называют нормальным рядом группы G. Фак-тор-группы Gi/G2,G2/G3,..., Gn-I/Gn называют факторами нормального ряда. Группа, имеющая нормальный ряд, все факторы которого коммутативны, называется разрешимой.
Пример 6. Подгруппа H всех верхних треугольных матриц группы GL(n, С) разрешима.
Задача 1. Постройте нормальный ряд подгруппы примера 6 с коммутативными факторами.
Имеет место такая теорема [36].
Теорема 6. Если конечная zpynnaG имеет порядокpnqm, где р и q — простые числа, то G разрешима. Конечная группа, порядок которой не делится на квадрат простого числа, разрешима.
Приведем без доказательства основные свойства разрешимых групп.
а) Подгруппы разрешимых групп разрешимы.
б) При гомоморфизмах разрешимые группы отображаются на разрешимые группы.
в) Расширение разрешимой группы с помощью разрешимой группы — разрешимая группа.
Если G имеет нормальный ряд (2.7), такой что группы Gi+i/Gi являются центрами групп G/Gi, то она называется нильпотентной.
Можно показать, что нильпотентная группа разрешима. Подгруппа и фактор-группа нильпотентной группы нильпо-тентны.
