Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
т- 1
Подставив (4.11) в (4.10), получим
оо оо оо
агпт(т - 1)гш~2 - 2к аштггп~1 + [3 агпгТп~1 = 0. (4.12)
т=1 т=1 т=1
Так как равенство (4.12) должно удовлетворяться тождественно для любых
значений г, сумма коэффициентов при любой степени г должна равняться
нулю.
Приравняем нулю сумму коэффициентов при rn_1:
an+i(n + 1)п - 2капп + /Зап = 0. (4-13)
Из (4.13) легко получить рекуррентную формулу для коэффициентов ряда
(4.11):
2кп - /3 /,-1,4
ап+1 - an~f
п(п + 1)
78
Глава 4
В зависимости от величины [3 ряд (4.11) может оказаться бесконечным или
может оборваться на некотором п-м члене, т. е. свестись к полиному. Если
ряд не обрывается, то при п -> оо
2fc-/3/n_ 2 к an+i-an п + 1 ~п+1"п, (4.15)
ИЛИ
Qn+i _ 2 к
ап П + 1 '
Такая рекуррентная формула, как нетрудно убедиться, справедлива для
коэффициентов ряда1
e2kr = -L(2kr)n. (4.16)
П
Таким образом, если ряд, в который разлагается функция /(г), не
оказывается полиномом, то при больших п функция /(г) ведет себя как
ехр(2кг), и ф(г) растет с увеличением г как (1/r) exp(fcr), т. е.
неограниченно возрастает. Это решение, следовательно, должно быть
отброшено.
Рассмотрим теперь случай, когда ряд (4.11) обрывается на n-м члене. При
этом для некоторого п числитель в (4.14) должен обращаться в нуль:
2 кп - /3 = 0.
Таким образом, ряд оканчивается на п-м члене, если
к = /?/2п, (4-17)
где п - некоторое целое число.
Подставляя в (4.17) значения к и (3 из (4.5), найдем возможные значения
энергии водородоподобных атомов:
Еп - -Z
2 те4 1 2 П2 п25
или
Еп = -Z2Ri/n2,
(4.18)
Обозначим через Ъп и 6n+i коэффициенты ряда (4.16) при гп и rn+1 и
составим для них отношение
Ъп+1 _ (2 к)п+1п\ _ 2 к
Ьп ~ (п + 1) ! (2к)п ~ п + 1 '
что совпадает с (4.15).
§ 12. Энергетические уровни водородоподобных атомов
79
где
Ri = me4/2/i2, п = 1, 2, 3,...
(4.19)
Как и в случае прямоугольной потенциальной ямы (§ 9), возможные значения
энергии оказываются дискретными. Дискретность возникает из-за того, что
мы потребовали, чтобы волновая функция электрона была конечной на сколь
угодно больших расстояниях от ядра. При Е > 0 энергия не квантуется, так
как электрон, имеющий положительную энергию, атому не принадлежит и может
уходить на бесконечное расстояние от ядра.
Вернемся к формуле (4.19). Обратим внимание на структуру величины Ri.
Перепишем Ri в виде
Величина R\ определяет энергию атома и соответственно имеет размерность
энергии. Размерность определяется величиной тс2 - энергией покоя
электрона. Кроме тс2, в формулу входят универсальные постоянные h, с и
заряд е, определяющий кулоновское взаимодействие электрона с ядром. Эти
величины входят в формулу в виде безразмерной комбинации е2/Не. Следует
запомнить, что электрические заряды входят в решения квантовомеханических
задач всегда в виде этой комбинации, называемой постоянной тонкой
структуры а:
Числовое значение а полезно запомнить. Теперь определим числовое значение
R\.
Для водорода Z = 1; из (4.18) для энергии стационарных состояний атома
водорода получим
тс2 2 0,511 • 106 эВ
= -а =------------2------
U
константа R\ носит название постоянной Ридберга или энергии Ридберга. Она
имеет размерность энергии. Постоянной Ридберга называют также величину R
= = R\/2irhc, имеющую размерность [см-1] (см. (4.22')).
80
Глава 4
Ei = -13, 6 эВ при п = 1,
Е2 = -13,6/22 = -3,4 эВ при п = 2,
= -13,6/32 = -1,5 эВ при п = 3,
и т. д. Значения Е\, Е2, • • • образуют набор уровней
энергии
для атома водорода. Уровни сгущаются при Е -> 0. При Е > 0 электрон
является свободным и уровни энергии, как мы уже знаем, не квантуются
(образуют непрерывный спектр). Схема уровней энергии атома водорода
изображена на рис. 29. Уровню с наименьшей энергией Е\ соответствует
основное состояние атома. Остальные уровни определяют энергию
возбужденных состояний.
Сделаем одно важное замечание. Те решения, которые мы получили, вообще
говоря, не представляют собой полного набора решений. При решении
уравнения Шредингера мы не рассматривали волновые функции, зависящие от
углов $ и (р. Поэтому уровни энергии, которые были получены, - это уровни
состояний, не зависящих от углов $ и ср, т. е. уровни с нулевым угловым
моментом (моментом импульса).
Электрическое поле точечного заряда обладает той характерной
особенностью, что рассмотрение полной задачи, включающей решения с
ненулевыми моментами импульса, не приводит к появлению новых уровней
энергии. Поэтому формула (4.18) содержит все уровни энергии водорода и
водородоподобных атомов1.
С точки зрения классической физики устойчивые состояния электрона с
нулевым угловым моментом невозможны, так как при отсутствии вращения
электрон должен был бы "упасть" на ядро. В квантовой механике такие
состояния могут осуществляться, так как электрон не может "упасть" на
ядро даже при нулевом угловом моменте. Это легко понять, применив к
электрону, находящемуся в поле ядра, соотношение неопределенностей. При
приближении электрона к ядру неопределенность координаты становится все
