Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
заходить не могут.
После этих предварительных замечаний перейдем к точному решению задачи о
движении частицы в потенциальной яме. Уравнение Шредингера в одномерном
случае имеет вид
-tS+u{x)*=Eih
Так как функция U(x) является ступенчатой (рис. 19), то для решения
задачи удобно разбить область изменения х на два участка с постоянными
значениями U, получить решения для каждого участка в отдельности, а затем
"сшить" их так, чтобы ^-функция была непрерывной и гладкой. Область х <
0, как будет видно из дальнейшего, интереса не представляет.
Назовем область 0 < х < а областью I и все решения в этой области снабдим
индексом 1. Область х > а назовем областью II и припишем индекс 2
решениям во второй области. Уравнение (3.1) в области I примет вид
П2 d2ip1 2ш dx2
= Ефъ
а в области II запишется в виде
п2 <12ф2
2 т dx2
Введем обозначения
(3.1)
U(a
II
U
О а X
Рис. 19. Прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокой стенкой при
х = 0.
(3.2)
U ф2 = Еф2.
к2 = ^Е, k2 = ^(U-E). При этом уравнения (3.2) и (3.3) примут простой
вид:
; 2 , п d2^2 1 2 / п
Г +"1^1= 0, ---к2ф2=0.
dx
(3.3)
(3.4)
(3.5)
58
Глава 3
Как следует из (3.4), к\кк\ - величины положительные. Решая уравнения
(3.5), найдем
V"i = Asm(kix + if), ф2= Век2Х+ Се~к2Х. (3.6)
В формулах (3.6) А, (р, В, С - некоторые константы.
Примем теперь во внимание условия, которым должна удовлетворять ^-
функция. Учтем прежде всего, что ^-функция должна быть всюду конечной (в
том числе и в бесконечно удаленной точке!). Будем считать &2
положительной величиной (выбор отрицательных значений вместо
положительных приводит просто к обмену местами первого и второго членов
второй формулы (3.6)). Член ехр^ж) при х -> оо
неограниченно возрастает. Поэтому необходимо, чтобы В = 0.
Потребуем, чтобы
решения ^ и ^ в точке а были равны (чтобы решение было непрерывным) и
переходили одно в другое без излома (чтобы оно было гладким). Приравнивая
гр1 (а) и -02(а), найдем
Asin(kia + ср) = Се~к2а. (3.7)
Полагая difji/dx в точке а равным dip2/dx, получим kiAcos(kia + ф) = -
к2Се~к<2а.
Деля эти два равенства друг на друга, найдем
tg(fcia + ф) = -fci/fc2. (3.8)
Исследуем прежде всего случай, когда U очень велико. Как следует из
(3.4), к\ при увеличении U не изменяется, а к^ возрастает. Поэтому при U
-> оо отношение ki/k2 -" 0. При бесконечно высокой стенке, следовательно,
tg(fcia + ф) = 0,
что возможно лишь в тех случаях, когда sin(?;ia + ф) = 0, а значит, и (а)
обращается в нуль. Мы замечаем, таким образом, что в точке, где
потенциальная энергия бесконечно возрастает, ^-функция обращается в нуль.
За стенкой ^-функция начинается с нулевого значения, а далее может только
затухать, как это следует из (3.6). Она, следовательно, остается равной
нулю. Производная d^i/dx при U -> оо в нуль не обращается. Мы видим,
таким образом, что в точке, где потенциальная энергия обращается в
бесконечность, ^-функция обращается в нуль, остается непрерывной, по
перестает быть гладкой. Потеря гладкости является "наказанием" за
нефизическое допущение
§9. Прямоугольная потенциальная яма. Принцип соответствия 59
о том, что потенциальная энергия обращается в бесконечность. Но даже при
таком допущении ^-функция остается непрерывной.
Проведенные выше рассуждения полностью применимы к бесконечно высокой
левой стенке ямы, т. е. при х = 0 функция гр1 должна обратиться в нуль.
Имеем поэтому
ср = 0. (3.9)
^-функция остается равной нулю налево от точки х = 0, т. е. при всех
отрицательных значениях х.
Уравнения (3.6) с учетом (3.7) и (3.9) сильно упрощаются и приобретают
окончательный вид:
= Asin(kix), ip2 = С ещ)(-к2х). (3.10)
Вместо уравнения (3.8) получим
tg(fcia) = -ki/k2- (3.11)
В уравнение (3.11) не входит ни одна произвольная константа, и из него
следует, что решение задачи имеется не при любых значениях параметров.
Если задаться шириной а и глубиной U потенциальной ямы, уравнение (3.11)
в силу (3.4) определяет возможные значения Е. Однако это уравнение
является трансцендентным, и рассматривать его неудобно.
Отложим поэтому дальнейшее обсуждение уравнения (3.11) и рассмотрим
вначале более простой случай, когда не одна, а обе стенки у ямы
бесконечно высокие. Так как при этом к\)к2 -" 0, то уравнение (3.11)
принимает простой вид:
tg(fcia) = 0. (3.11')
Уравнение (3.11') удовлетворяется при
к\а = птг, п = 1, 2, 3,...
или
к\ = 7г п/а. (3.12)
Решение к\ = 0 (при п = 0), которое формально удовлетворяет уравнению
(3.11'), на самом деле является лишним. В самом деле, при к\ = 0 функция
-01, а вместе с ней и ^2 тождественно обращаются
в пуль. Это
означает, что речь идет о случае, когда частицы в яме нет.
Решения
приобретают смысл при целых п, начиная с единицы.
60
Глава 3
От решения (3.12) с помощью первого из равенств (3.4) перейдем к
возможным решениям для энергии
Формула (3.13) показывает, что частица, "запертая" в потенциальной яме,
может иметь только дискретные, квантованные значения энергии. Эти
