Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
интересовать не будет.
2Все сказанное полностью применимо только к одномерному случаю. В
трехмерном случае картина усложняется.
fc = fn> р = 2гп>
316
Глава 12
Полученные соотношения справедливы не только для электромагнитных, но и
для любых волн. В самом деле, из (12.32) следует, что
а = п\/2.
Разность хода между волнами, отраженными от соседних кристаллических
плоскостей, равна 2а = пХ. Иначе говоря, все отраженные волны находятся в
фазе и усиливают друг друга. Ясно, что это условие является вполне общим
и не предполагает, что рассматриваемая волна является именно
электромагнитной. При сильном отражении волна не может распространяться в
кристалле, что характерно для запрещенной зоны. Каждая запрещенная зона
соответствует некоторому диапазону изменения энергии и одному -
брэгговскому - значению импульса.
Проследим связь между импульсом электрона и его энергией.
Рис. 127. Энергия и импульс почти свободного электрона в кристалле.
На рис. 127 изображена обычная параболическая зависимость энергии от
импульса, характерная для свободного электрона. При наличии
периодического поля в точках, удовлетворяющих соотношению (12.32),
возникают запрещенные полосы (рис. 127 характеризует случай очень слабого
периодического поля, когда изменяется не вся кривая Е = Е(р), а только
участки, прилежащие к границам зон Бриллюэна). Зависимость энергии от
импульса в этих точках искажается (разрывы в сплошной кривой), причем
никаких запрещенных областей импульса не возникает, а запрещенные
энергетические зоны соответствуют границам зон Бриллюэна.
Участки параболической кривой, соответствующие второй зоне Бриллюэна,
можно сместить в первую зону (как мы уже знаем, закон сохранения импульса
в кристалле выполняется с точностью до 2ттНп/2).
§62. Динамика электронов в кристалле 317
Такая процедура проделана на рисунке (штрихпунктирная кривая). Та же
операция может быть проведена и с участками кривой, расположенными в
следующих разрешенных зонах. Кривая зависимости энергии от импульса при
этом целиком умещается в первой зоне Бриллюэна, но содержит несколько
ветвей. Мы видим, таким образом, что два совершенно разных подхода -
теория, основанная на исследовании поведения электронов, которые сильно
связаны в своих атомах (§ 60), и теория "почти" свободных электронов,
движущихся в периодическом поле (настоящий параграф), - приводят к
одинаковым выводам. Это совпадение заставляет думать, что полученные
результаты имеют очень общий характер и должны выполняться в любых
кристаллах. В частности, формулы, связывающие энергию и импульс
электронов, и вся динамика электронов в кристалле совершенно не похожи на
соответствующие формулы - и динамику - свободных электронов. Опыт хорошо
подтверждает эти выводы.
§ 62. Динамика электронов в кристалле. Электропроводность кристаллов
Как мы уже могли убедиться, энергия и импульс электронов в кристаллах,
вообще говоря, связаны между собой сложным законом дисперсии, а не
привычным соотношением Е = р2/2т, характерным для классической физики.
При расчете движения электронов нужно исходить непосредственно из закона
дисперсии.
Основной закон движения электрона, записанный в ньютоновской форме, имеет
вид
Это уравнение позволяет находит импульс (вернее - квазиимпульс)
электрона, если известны действующие на него силы (магнитные и
электрические). Вычисление импульса является первым шагом в решении
задачи о движении электрона. Следующий шаг состоит в том, чтобы по
найденному импульсу рассчитать скорость и координату. Знание координат
позволяет найти силы и, таким образом, замкнуть решение.
Скорость электрона равна групповой скорости соответствующей волны Блоха.
Переходя от и) и к к Е и р, найдем
V - * duo = dE
v_ dt ~ dk dp '
(12.34)
318
Глава 12
Формулу (12.34), содержащую дифференцирование по вектору, нужно понимать
как сокращенную запись формул vx = дЕ/дрх, и т.д. Координаты электрона
находятся путем интегрирования (12.34). Формулы (12.33) и (12.34)
возвращают нас от кристалла с его сложным устройством и волн Блоха к
динамике одиночных электронов.
Разберем некоторые простые примеры.
Рис. 128. Модельный закон дисперсии для электрона в кристалле.
Пусть закон дисперсии электрона (т. е. зависимость его энергии от
импульса) имеет вид, изображенный на рис. 128 (одномерная задача), и
электрон находится в точке /. В этой точке его импульс и энергия равны
нулю и скорость v = dE/dp также равна нулю. Подействуем на электрон
постоянной силой F, направленной, например, вправо. Формула (12.33)
показывает, что его импульс будет монотонно увеличиваться, а значит,
электрон начнет смещаться вправо по кривой на рис. 128. Его энергия
вначале возрастает. Вместе с ней увеличивается скорость. В точке 2
скорость (наклон кривой Е = Е(р)) достигает максимума. При дальнейшем
действии силы электрон начнет приближаться к точке 3. Его импульс и
энергия продолжают расти, а скорость (наклон кривой dE/dp) падает. На
