Цифровая обработка сигналов: Справочник - Гольденберг Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
V
(8.5)
е*
1
Sx(k)=- ^/,(*)•
v r=1
4. Расчет коэффициента М, показывающего, во сколько раз уменьшается
дисперсия оценки СПМ за счет усреднения по отдельным интервалам
наблюдения:
1
ez
а)'
вГ
м=-
м-
¦^"[1 ~{~2с2 (0,5)]-у" с2 (0,5) I
В) -'в2-Рис. 8.1 (для D - 0,5);
у [1 +2С2 (0,75) -{-2с2 (0,5)]-~ [С2 (0,75)+ 2с2 (0,5)]
(для ?)=0,75).
Здесь величины с (0,5) и с (0,75) определяются видом оконной функции рп
(табл. 8.1, а также см. табл. 1 в '[8.2]); общая формула для расчета М
при произвольном значении рп приведена в [1.6].
8.2.2. Основные свойства оконных функций
Умножение отсчетов анализируемого процесса на значения рп эквивалентно
свертке соответствующих спектров *[см. (1.11)]. Рисунок 8.2 иллюстрирует
действия оконной функции. На рисунке приняты следующие обозначения: со -
нормированная частота (условие нормировки Т= 1 с, т. е. сод=2л с-1);
|Р(е*ш)|, jZfe'o)] и |ХР (е'") | -модули спектров оконной функции,
анализируемого сигнала и дискретного сигнала, полученного после умножения
отсчетов анализируе-
| X (е I
СОд
Обнаруживаемый. сигнал Т
а
О]
Мешающий сигнал Спектр шума
СОд
1
¦со,
со
со
Рис. 8.2
* Символ Ек [ ] означает "целая часть числа, заключениогв в квадратные
скобки".
221
222
Таблица 8.1
Л S о -42 $ в ю "о § A-FrW'
бии к о
Окопная функция Модуль Фурье преобразования оконной функции ¦*6
<1 Xs С (0,5) ю N О U •о W=3 W>=6 10 ч + S >
я {-
Л/-1 " 1 1 50
Прямоугольная рп = 1 <07 |Р(е1й>7) |=е 2 X sin (N (0 Т/2) Х
sin (а Т/2) 75 -3,92 -13 0,12 0,89 1,21 -6
Треугол Рп- ¦ ьпая п при п = 0, 1, nj2 "/2; Л/-л при n~N/2, 7V/2 Л'~1
|Р(е""Г)| = JL х Хе '2 J X / sin (N со Т/4) \ 2 Х V sin (со Т/2) J
1,33 0,5 25 71,9 -1,82 -27 0,039 1,28 1,78 -12
Хэмминга рп = 0,54-0,46cos2n"/A7 С |Р(е1а>г)|=0,54Л (соТ) +
+0,23 [D (соТ-2я/ЛП+ +D (юТ+2я/Л/)], (ОТ1 D(wT) = е 2 X sin (Ai to Т/2) Х
sin (to Т/2) 1,36 0,54 23,5 70,7 -1,78 -43 0,046 1,30 1,81 -6
223
Оконная функция
Кайзера - Бесселя
'•[- V' -Ш
/о [ да 1
при 0<n<jV/2;
Рп -
/0| да 1
N-n
JV/2
[да]
при N/2<n<N-\,
00 Г(д:/2) * Т2 где/.(*)-2 г
fc-o. /г! J
Модуль Фурьс-преобразова кия окопной функции
/о (ал) sh iyaznz-(Nu>T/2j2] ~[/а2л2 -(Nu>T/2)*
N
X
AFrW, бин
AF.", бин
W = 3
W-0
a - 2
a=2,5
a = 3
a-3,5
1.5
1,65
1,80
1,93
0,49
0,44
0,40
0,37
16,9
11.2
7,4
4,8
65,7
59,5
53,9
48,8
-1,46
-1,20
-1,02
~0,"
-46
-57
-69
-82
0,049
0,051
0,053
0,055
1,43
1,57
1,71
1,83
1,99
2,20
2,39
2,57
-6
дБ/ок-
мого сигнала на отсчеты оконной функции. Значения функции |^р(е*и)|
показа* ны лишь для (о=со0 (частота обнаруживаемого сигнала) и со=сох
(частота мешающего сигнала). Вычисляя эти значения, можно обнаружить
сигнал.
Ниже отмечаются основные свойства и характеристики оконных функций,
позволяющие выбрать конкретную рп и использовать ее для обработки
анализируемого сигнала:
1. Отсчеты рп симметричны, за исключением р0
Рп = Pn-п 1 л = 1.2,..., N 1. (8 5)
Пример 8.1. Отсчеты треугольной оконной функции (см. табл. 8.1) при N= =6
имеют значения: р0=0; pi=ps=1/3; р2=Р4=2/3; ps=l.
2. Эквивалентная шумовая полоса (ЭШП) оконной функции с N отсчетами АРшм
определяется в бинах как
N-l
^2 р2п
п= 0
N-1 '
2 Рп
п=0
(8.7)
Меиьшей величине AFmw соответствует меньшее влияние мощности шума в
анализируемом процессе на величину IT(k) [см. (8.3)].
Пример 8.2. Для треугольной оконной функции N=2K; р0=0;
_г l/К при /=" 1,2,..., К',
Pl~\{2K-l)IK при * = *+!,..., 2К- 1;
AFmN = 2(2K*+l)/m.
Как правило, 1V^> 1 и вместо AFmN, определяемой (8.7), используют
предельную эквивалентную шумовую полосу AFm (см. табл. 8.1), измеряемую в
бинах:
A Fm = lim A F, N-*
mN-
(8.8)
Пример 8.3. Для треугольной оконной функции AFm=l,33.
Эквивалентная шумовая полоса (ЭШП) оконной функции - это удвоенная ширина
полосы пропускания идеального ФНЧ, у которого максимальное значение АЧХ
равно максимальному значению модуля Фурье-преобразования оконной функции,
а мощность шума, пропускаемая фильтром, равна мощности шума после
обработки его оконной функцией (рис. 8.3). Пусть обрабатываемая-
последовательность представляет собой сумму гармонического сигнала с
частотой е>г= -12л/{NT), совпадающей с бином ДПФ, и белого шума. Тогда
значение AFm показывает, во сколько раз уменьшается отношение сигнал-
помеха после обработки входной последовательности оконной функцией.
224
3. Ширина главного лепестка (рис. 8.4) AFT^w модуля Фурье-преобразова-
иия | Рк (е'") | оконной функции с N отсчетами, которая определяется по
уровню W, дБ, относительно тах| РЛт(е'") | и измеряется в бинах, k.FTNW-
($NNlnt
где - наименьший по абсолютному значению положительный корень уравнения
[Р^(е5")! = тах|Р"(е*")|/10^20.
Пример 8.4. Для прямоугольной оконной функции прн W-3 дБ Л/>2з "0,127.
Ширина главного лепестка модуля Фурье-преобразования, отсчитываемая по
уровню W, дБ. и измеряемая в бинах,
Д FrW = Пт (соN N/n) • (8.9)
А'->ое
В табл. 8.1 приведены значения ДFT w прн W-Ъ дБ и 157=6 дБ для некоторых
