Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
j [Ааха2 + Acl1O2 + Аахауа2 + Ba1] + WaxCtsjK = О, j-[Aa2a2 + Аа2а2 + AaxOyO1 + Sa2] + iva %ауК = О, (ffa) a9C - (2А + O2C + 2D) + = О,
Rva3C - (ga) h2a0 (А + а2С) = О, a3 = — i(ayax + а 2ау)
(11.93)
и аналогичные уравнения для параметров ai, а2.....В уравнениях (11.93)
і і
0 о
1 1 C=Jf(Z)dZ, D=Jf(Z)-^dZ;
о о
K= J ^ F(Z) dZ.
Используя полученную выше функцию 4>(Z), найдем /1 = 27,43; В = 274,3; С = 2,752; D = 27,4. Соотношения (11.93) можно рассматривать как систему однородных уравнений относительно параметров а. Тогда из условия существования нетривиального решения (det = 0)
(A + а2С) UA + + O2C + 2D] Sla =-і--ф-(11.94)
К не входит в выражение для Sla, следовательно, вид F(Z) не влияет на значение Sla. Если выбрать F (Z) = <f>(Z), то K = O.
Как и в (11.87), можно вычислить критическое число Релея, минимизируя соотношение (11.94):
* + = (11.95)
*) Мы проинтегрировали по Z до минимизации. Можно было бы обратить порядок этих двух операций, как в методе Релея — Ритца. Однако следует помнить, что нам совершенно не нужно знать значение каждого параметра отдельно. Значение же критического числа Релея не зависит от выбора 2-зависимости Для возмущенного давления. 170
глава 10
Из (11.95) имеем
а| = 4,99; (Ma)c = 672,15;
тогда как точные значения этих величин равны а2 = 4,935; (Ma)c = 657,5.
Поскольку в (11.94) зависимость от граничных условий входит только через постоянные А, В, С и D, можно почти без изменений применить развитый метод к случаю двух твердых поверхностей. Выбирая те же пробные функции, получим а2 = 10,415 и (Ma) 0 = = 1821,8, тогда как их точные значения равны ([28], гл. II): а2 = 9,716 и (Ma)о = 1707,76. Напомним, что приближенные результаты получены нами с использованием только одного пробного параметра для всех функций щ, щ, M3 и 9, поэтому их следует признать удовлетворительными.
Теперь в нашем распоряжении есть несколько различных вариационных методов, так как мы можем строить лагранжианы, включающие либо все неизвестные функции, как в методе безусловного минимума, либо часть этих функций, как это делал Чанд-расекар. В последнем методе стационарные уравнения для возмущений используются для предварительного исключения части неизвестных функций. Для заданного класса пробных функций все эти методы приводят практически к одинаковым результатам. Конечно, метод безусловного минимума требует более сложных вычислений, однако его преимущество состоит в том, что он применим, когда исключение части функций затруднительно.
11.11. Возникновение неустойчивости в двукомпонентной проблеме Бенара
Как уже подчеркивалось в § 11.4—11.6, возникновение неустойчивости непосредственно связано с исчезновением производства обобщенной избыточной энтропии P[6Z] [или Pm[oZ'] в (11.42)] (разд. 11.4—11.6). Когда рассматривалась проблема Бенара для однокомпонентной жидкости, возникновению неустойчивости было дано простое механическое объяснение (разд. 11.3). Но в случае двукомпонентной проблемы Бенара следует учитывать эффекты термодиффузии, и простая механическая интерпретация возникновения неустойчивости уже не приемлема.
При рассмотрении бинарной смеси с температурным градиентом мы ограничимся минимумом подробностей; дополнительную информацию можно найти в работе [146]. Согласно определению барицентрической скорости (1.20), уравнение баланса импульса (1.30) так же, как и уравнения баланса для приращения импульса (7.51) или (11.7), справедливы и в случае многокомпонентных систем. Таким образом, если принять коэффициент вязкости постоян- проблема устойчивости покоящейся жидкости
171
ным, необходимо только заменить уравнение состояния (11.1) на следующее уравнение:
р = р+ [ 1 _ а (Т - T+) + у (Ni - Nt)), (11.96)
где Ni — массовая концентрация компоненты 1. Следовательно, предполагается, что у — положительная постоянная; крестиком отмечены, как и в (11.1), величины, относящиеся к некоторому исходному состоянию; обычно уравнение (11.96) дает ошибку не более 1%. Для возмущения плотности теперь имеем
бр == P+ (— аЭ + у Г) (Г — dN,). (11.97)
Затем, используя приближение Буссинеска и условие несжимаемости, как и в разд. 11.3, мы получим условие гидродинамической устойчивости для бинарной смеси:
h
1 Iv (("г/)2) - §а (9w> + ЗУ <Гш>] dz ^ 0. (11.98)
о
Это соотношение является обобщением неравенства (11.26). Главная его особенность состоит в том, что неустойчивость, возникновение которой связано с обращением в нуль (11.98), зависит теперь от конкуренции не двух процессов, как в (11.26), а трех: диссипации кинетической энергии, выделения энергии за счет выталкивающих сил, возникающих благодаря температурному и концентрационному градиентам. Каждый из последних двух эффектов может быть как стабилизирующим, так и дестабилизирующим.
В бинарной смеси диффузионный поток имеет вид
'«ш , = P1A1 = - PDVN1 - QDfNlN2VT, (11.99)
где D — изотермический коэффициент диффузии, a D' — коэффициент термодиффузии. Соотношение (11.99) —пример феноменологических линейных законов (гл. 3).
