Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктруций - Гленсдроф П.
Скачать (прямая ссылка):
Другая важная область исследования, где с успехом применялись макроскопические методы, — гидродинамика. Особый интерес для -нас представляет теория гидродинамической устойчивости. Хорошо известно, что некоторые простые случаи течения (такие, как течение Пуазейля) реализуются только в определенных областях значений параметров; вне этих областей они становятся неустойчивыми.
В качестве простого примера можно рассмотреть термическую устойчивость горизонтальных слоев жидкости, нагреваемых снизу. Это так называемая задача Бенара [28], которая будет детально изучена в гл. 11 и 12. При некотором критическом значении безразмерного параметра, называемого числом Релея, состояние покоящейся жидкости становится неустойчивым и возникает ячеистая структура конвекции. Выше и ниже этого значения параметра жидкость можно описывать макроскопически. Термодинамическое рассмотрение должно играть важную роль в выяснении начала и природы неустойчивости.
Таким образом, основной вопрос, которым мы будем заниматься, заключается в следующем: можно ли обобщить методы термодинамики для исследования всего круга явлений, начиная
*) Иногда в переводах на русский язык используют термин «возникновение энтропии» (де Гроот С. Р., Термодинамика необратимых процессов, под ред. проф. Лыкова А. В., ГИТТЛ, M., 1956). Однако, следуя новым изданиям, например [36], мы будем пользоваться термином «производство энтропии». — Прим. ред. 9 ВВЕДЕНИЕ
с равновесия и кончая нелинейными эффектами и неустойчивостью?
Мы увидим, что это обобщение действительно возможно для целого класса явлений, при описании которых локальная энтропия может быть выражена через те же самые независимые переменные, что и для системы, находящейся в равновесии. Это есть ни что иное, как предположение о «локальном равновесии», применимость которого основана на утверждении, что благодаря столкновениям имеется тенденция к восстановлению термодинамического равновесия. Другими словами, функция распределения молекул по скоростям и относительным расстояниям в любой момент времени не может сильно отклоняться от своей равновесной формы (разд. 2.2). Это условие должно рассматриваться здесь как достаточное для приложения термодинамических методов. Вполне вероятно, что единый термодинамический подход мог бы быть оправдан при менее жестких ограничениях, однако мы не используем эту возможность.
Даже при таких ограничениях упомянутое выше обобщение приводит к принципиальному расширению области применимости макроскопических методов. Проблемы, исследованные совершенно разными методами, теперь могут быть рассмотрены единым образом, и ряд задач классической равновесной термодинамики в рамках более общего подхода получает естественное решение.
Любая теория, целью которой является описание новых упорядоченных состояний вдали от равновесных условий (как, например, за границей устойчивости термодинамической ветви), должна опираться на теорию флуктуаций. Чисто причинное описание больше не пригодно даже для систем с большим числом степеней свободы. В качестве иллюстрации рассмотрим типичную задачу из гидродинамики — устойчивость ламинарного потока жидкости. Предположим, что возникает малая флуктуация кинетической энергии ofkin; ей будет соответствовать небольшой «горб» в профиле скоростей, как показано ниже:
Флуктуация профиля скорости
Если 0?мп исчезает всюду при t-+oo, течение устойчиво. Напротив, если o?kin возрастает во времени, установится новый тип течения. Из классической гидродинамики известно, что это происходит, когда число Рейнольдса становится больше критического значения, соответствующего возникновению турбулентности.
Наше утверждение состоит в том, что новая «структура» всегда является результатом неустойчивости и возникает из флуктуаций. 10
ВВЕДЕНИЕ
Тогда как в обычных условиях флуктуация вызывает реакцию системы, которая возвращает ее в невозмущенное состояние, в точке образования новой структуры, напротив, флуктуации растут. Эта идея и лежит в основе классической теории устойчивости, основанной на анализе нормальных мод (см., например, работу [28]). При этом рассматриваются малые возмущения стационарного состояния, которые удовлетворяют линейным динамическим уравнениям. Временная зависимость каждого нормального колебания имеет вид exp at, где ш — вообще говоря, комплексная величина cur + і со і. Тогда условие устойчивости означает, что для каждой нормальной моды
COr < 0. (1)
Одна из наших основных задач состоит в том, чтобы установить, как связана теория устойчивости с термодинамикой необратимых процессов, и отсюда получать как можно больше информации, независимо от детального анализа нормальных мод. Ясно, что необходимо ввести каким-то образом в наше термодинамическое описание реакцию системы на флуктуации. Другими словами, мы должны построить обобщенную термодинамику, которая будет включать также макроскопическую теорию флуктуаций.
Следует отметить, что флуктуации могут иметь как внутреннее, так и внешнее происхождение; например, они могут быть результатом временного нарушения граничных условий. Однако в макроскопической системе с большим числом степеней свободы всегда существуют спонтанные флуктуации. Условие затухания флуктуаций становится условием устойчивости данного процесса.
