Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Гамильтониан взаимодействия, который связывает квантованное электромагнитное поле с распределением токов, имеет вид
«ЯМО-у J j (г, О-А (г, t)dr. (12.1)
В представлении взаимодействия изменение вектора состояния поля со временем подчиняется уравнению Шредингера
= (12.2)
Введем для краткости оператор В (t), определяемый соотношением
B(') = i I i(r- О-А (г. О*; (12.3)
оператор В (t) есть просто линейная комбинация значений векторного потенциала и, таким образом, подчиняется тем же общим коммутационным соотношениям, что и -векторный потенциал. В общем случае коммутатор [В (t), В (t')\ отличен от нуля, но он всегда есть просто число.
Уравнение Шредингера (12.2) можно переписать теперь в виде
-^\t)=B(t)\t). (12.4)
Вследствие операторного характера величины B(t) решение этого уравнения не равно
t
ехр { jj B{t')dt'^ \t0), (12.5)
to
так как В (t) не есть число. Однако из-за простоты коммутационных соотношений, которым подчиняется оператор В (t), это выражение не столь ошибочно, как можно было бы предположить.
>B(t)
to h -*¦ at in
Фиг. 11
Известно, что состояние | /) в момент времени t можно выразить посредством унитарного оператора U (t, t0), примененного к состоянию | t0) в момент времени t0,
\t) = U(t,t0)\t0). (12.6)
Очевидно, что оператор U(t, t0) удовлетворяет уравнению
?U(t,t0) = B(t)U(t,t0) (12.7)
с начальным условием U (t0, 10) = 1.
Чтобы найти оператор U, разделим временной интервал (t0 — t) на более мелкие интервалы At, заключенные между моментами времени tj = t0 + jAt, где j — целое число. Решение уравнения (12.7) можно получить с помощью предельного перехода. Предположим; что оператор В (t) имеет постоянное значение внутри каждого интервала времени At и претерпевает изменение только в момент времени tj (фиг. 11).
Поскольку оператор В постоянен в каждом малом интервале, мы можем легко проинтегрировать дифференциальное уравнение (12.7) для каждого такого интервала. Если В (t) принимает значение Bj в интервале от tj-i до tj, то
U(tj, tj-l) = eB^t. (12.8)
Следовательно, оператор преобразования, соответствующий последовательности малых интервалов, будет иметь вид
U (/„, t0) = gBnA'eB"-iAt . .. eBl&t. (12.9)
Чтобы оценить это произведение, мы можем использовать известную теорему об умножении экспонент (С3.20)1). Для /1 = 2, например, имеем
V(t2, t0) = e^teB1At = e^p |(В1 + В2)дг + _1[В2, 5,] (Д<)2} • (12.10)
Повторяя эту операцию, получаем
71
U (tn, t0) = ехр { ^ В At + 1 2 Вft! W } • (12-11)
i— 1 }>ь
Это выражение есть точное решение, если В (t) является, как мы предположили, разрывной функцией времени.
Случай, когда оператор В (t) изменяется со временем непрерывно, можно рассмотреть, переходя к пределу при Д t0, т. е. предполагая, что tn = t остается фиксированным, а п-*- оо. В результате такого предельного перехода получаем точное решение t t г
U(t, to) = exp {J B(t’)dt’ + ± J dt' J dt"[B(t'),B(t")]} . (12.12)
Сравнивая это решение с выражением (12.5), которое получено в предположении, что B(t) не является оператором, видим, что разница сводится к добавлению в показателе экспоненты члена
t г
i J dt’ J dt’’ [B(t'), B(t")]. (12.13)
(o to
Коммутатор в этом интеграле есть просто коэффициент (величина чисто мнимая). Таким образом, решение (12.12) отличается от
(12.5) лишь зависящим от времени фазовым множителем. Обозначая интеграл (12.13) через t<p(/), запишем оператор преобразо-
1) Буквой С условно выделены формулы из статьи автора, включен
яой в настоящий курс в качестве лекций 9—11.— Прим. ред.
вания в виде
t
U (t, tQ) = ехр | jj В (/') dt' + iff (t) j =
«0
t
~ exp ^ Hr’ ^')• A (r, t’)dt' dr + iffit)} . (12.14)
to
Хотя фазовая функция ф (t) имеет некоторый физический смысл (она содержит, к примеру, информацию относительно энергии взаимодействия тока и поля), она не влияет на выражение для операторов плотности поля, т. е. если начальное значение оператора плотности есть q (t0), то его значение в момент времени t равно
Q(/) = ?/(/, to)Q(to)Uf(t, to); (12.15)
как мы видим, фазовый множитель действительно исчезает.
В частности, если начальное состояние есть вакуум
