Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Л = РЛР./ = Р/ S- =Pi-W (10.13)
Icos^l -kr
(Vrp, і = da/dki — групповая скорость для волн типа /).
237 Введем коэффициенты Эйнштейна Am, Bnm и Bn, причем Am da dQ — вероятность спонтанного излучения в единицу времени при переходе между состояниями т п с излучением кванта данной нормальной волны в интервалах da и dQ1 BnmpdadQ—вероятность такого же индуцированного перехода и BnPdadQ— вероятность поглощения кванта при переходе п -»- т. Коэффициенты Aln, BZ и В'" связаны соотношениями
Bn
Bn
т
Bn',
(2я с)3
H2lHco3
1 (">"/) <3©
/1"
(10.14)
Отсюда для вакуума получается обычное соотношение (см., например, [1])
Dn _ (2ЯС)3 Л" _ 2яс3 ДП ... .
0Oi— fc„з ^nt-— й з ^iu. і О)
При этом под пят понимаются два каких-либо состояния в импульсном пространстве, для которых разность энергий Sm — ~<§ п = ft ft) = Av. Если бы речь шла о переходе между энергетическими уровнями, то нужно было бы учитывать статистические веса этих уровней. По смыслу связь (10.15) относится к волнам с одной поляризацией. Если определить вероятность индуцированного перехода в вакууме как BrInIvdvdQ (так сделано, например, в [58]), то Bnm = (с2/Zzv3) Am, где AmdvdQ = = 2лAmdvdQ—вероятность спонтанного испускания в интервалах dv и dQ. Наконец, если под AmdvdQ понимать вероятность испускания волн с обеими возможными поляризациями, то можно воспользоваться связью Bnm = (c2/2hv3) Am, которая и применялась в [58]. Но здесь-то как раз и заложен источник недостаточной полноты и определенности соответствующих выражений. Во-первых, проведенный способ перехода к неполяри-зованному излучению не обоснован, хотя и можно ожидать, что так получается среднее значение р, для обеих возможных поляризаций. Во-вторых, в вакууме или в изотропной среде имеет место поляризационное вырождение (возможность выбора нормальных волн с любой поляризацией), в силу чего поляризационные соотношения можно получать лишь в результате дополнительного анализа.
Обозначим через Nn и Nm концентрации электронов в состояниях п и т с энергиями Sn и Sm, так что Sm — Sn = ftco = = Av. Тогда, в силу (10.14), коэффициент поглощения щ вдоль
238 луча для волны типа I равен
Hi= —
M1 /ко 2 - NmBnmPl)
P /
8я3с2
2 9 (О Я?
Ao
dk,
COS ф, I Yj АПт (Nn - Nm). (10.16)
Для простоты будем в дальнейшем сразу считать, что I tit— 11 <С 1 и J cos ф/ J a 1. Далее, рассматривая ультрарелятивистский случай («игольчатое» излучение, т. е. излучение лишь в направлении скорости частицы) и считая функцию распределения изотропной, можем положить
Nn-Nm = Neb-Hb)-Ne(V) =
., ( hv \ ,, / \ h\ dNe
= Ne VP—=
Здесь учтено, что в рассматриваемом классическом случае hv <с ср aj S. Наконец, излучательная способность на интервал dv равна ez = Y AmNmIiv = Y ^nAnmNmhv, и хотя бы из сопоставления с (10.4) ясно, что Am = Am/2л в (10.16) нужно заменить на (/?2/2n/zv)pi(v, S), где Pi(VlS) —функция типа pap(v) в (5.26), (5.27), но относящаяся к волне типа /. Что это означает, будет уточнено ниже. Сейчас же приведем окончательное выражение для ц/ при сделанных предположениях
= -4^5*2^^)*'^ W*' {10Л7)
где
<7;(v, S)= \r2Pi(v, S)dQ (10.18)
и использованы равенства S = ср и Ne(p)Aлp2dp = Ne(S)dS; кроме того, нужно пояснить, что при замене в (10.16) суммирования интегрированием элемент фазового объема равен p2dp dQ, причем dQ есть элемент телесного угла, в котором происходит спонтанное излучение (по предположению, угол между рик мал). Согласно (10.17), (10.18) задача вычисления заключается'в уточнении смысла величины Pi(v,S) или qi(v,S). В анизотропной среде такая процедура вполне ясна, ибо qi есть спектральная плотность мощности, излучаемой электроном в виде нормальных волн типа I. Но в вакууме или в изотропной среде, где имеется поляризационное вырождение, необходимо выяснить, какие волны нужно считать нормальными при вычислении коэффициента реабсорбции щ.
239 На первый взгляд, правда, может показаться, что результат расчетов не должен зависеть от выбора поляризации нормальных волн, ибо в этой независимости и состоит поляризационное вырождение. Разумеется, при последовательном проведении расчетов методом кинетического уравнения так оно и есть: определенный выбор поляризации нормальных волн в случае вакуума, а в принципе и само использование нормальных волн в любой среде не обязательны. Но в методе коэффициентов Эйнштейна работают только с вероятностями (интенсивностями), а не с амплитудами вероятности (полями). Поэтому когерентность различных нормальных волн, вообще говоря, имеющая место в случае вырождения, в методе коэффициентов Эйнштейна учтена быть не может. Иными словами, по самому смыслу этого метода его использование, вообще говоря, связано с фиксацией типа волн, для которых вычисляется коэффициент поглощения.
Для «чистого» вакуума нельзя, конечно, однозначно указать какие волны являются нормальными. Но в этом случае не встает и вопрос о реабсорбции. Если же говорят о «реабсорбции в вакууме», то имеют в виду только возможность пренебречь влиянием холодной плазмы на излучение и реабсорбцию. Релятивистская же плазма в источнике по самому смыслу задачи о реабсорбции оказывает влияние на поглощение волн. Она должна оказывать какое-то влияние и на показатель преломления, причем среда является анизотропной. Последнее очевидно, поскольку речь идет о релятивистских частицах (плазме), находящихся в магнитном поле, и следовательно, в системе имеется физически выделенное направление — направление поля. Как было показано в гл. 5, если функция распределения ультрарелятивистских частиц не резко анизотропна, то их излучение линейно поляризовано, причем электрический вектор в волнах максимален в направлении, перпендикулярном проекции Hi вектора H на картинную плоскость (ниже для краткости такие волны будем называть поляризованными перпендикулярно полю, а волны с вектором Е, параллельным Hj., именовать волнами, поляризованными по полю). В таких условиях естественно ожидать, что нормальные волны также будут поляризованы по полю и перпендикулярно полю (напомним, что мы ограничиваемся углами % mc2/cf, т. е. не рассматриваем излучения частиц, направление скорости которых составляет малый угол % <С тс21<§ с направлением поля); в обсужденном случае линейная поляризация также имеет место только при условии тс2/<о. Количественный расчет [1556] подтверждает это предположение. Таким образом, при применении формул (10.17), (10.18) для вычисления коэффициентов реабсорбции синхротронного излучения ультрарелятивистских частиц в вакууме нужно вычислять коэффициенты [Xx и P11 для поляризаций поперек поля и по полю (другими словами, индекс / заменяется на _L или II). При этом в качестве рx(v,S) и в (10.18)
