Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Подставим поля (13.43) в (13.40) и произведем усреднение по высокой частоте со, что эквивалентно пренебрежению членами, содержащими множители е±2Ш (такие средние отмечаются ниже чертой сверху). Тогда получается следующий результат (выкладки можно найти в [180]):
1 ар (t) р . . _ 1 rf(cог' (со)) д ,р ¦ сое- (со) р ,
4л ~дГ Е W- Tto-Ш-~dt (Е° W Ео О) + 8^ Eo (0 Eo (0 +
/ d (ае" (со)) fdE „(О ад _ ,.Л + Tto--Ш--1"dT-Eo(Z)--ar-E0(Z)J. (13.44)
где, как и ниже, производные по частоте берутся на несущей частоте со, фигурирующей в (13.43). В отсутствие поглощения, когда є" (со) = 0 и є' (со) = є (со), очевидно,
dwE (t) IdD (t) Irf (сое (со))
Ft = 1ST ~dt E (t) = -Jg^ ^ gf
_ d (сое (со)) I E0 P
We--da—Ї&Г-
(13.45)
319 Это выражение, уже использованное в гл. 6, выводится в большом числе книг и статей (см., например, [44, 76, 84, 180]), причем получается разными способами.
Если нет поглощения, то интерпретация величины We как средней плотности энергии электрического поля, что ясно из (13.40) и (13.45), не вызывает никаких сомнений. Но как обстоит дело в поглощающей среде?
На первый взгляд кажется, что в поглощающей среде средняя плотность энергии имеет вид
^ = 1^?^ 03.4«
поскольку именно такое выражение фигурирует в (13.44), где остальные члены зависят от є"(со), исчезают при отсутствии поглощения и их естественно связать с выделяющимся теплом Q. Для такого заключения нет, однако, достаточных оснований, так как разделение заданной суммы на неизвестные слагаемые явно неоднозначно. Более того, выражение (13.46) в общем случае безусловно не является плотностью энергии электрического поля. Ниже это будет показано на примерах, свидетельствующих одновременно и о том, что плотности We, We и Q вообще непосредственно не выражаются в общем случае*) через проницаемость є (со).
Такой вывод естествен уже из весьма общих соображений. Проницаемость є (со) определяет линейный «отклик» среды — индукцию D, возникающую под влиянием поля Е. Нет никаких
оснований, чтобы для доста-
Jr
R
о M jZ =J^J1
с=7?
Il -0 0-
S
Рис. 13.1. Электрический контур с импедансом Z = R при произвольном значении параметра х.
точно сложной поглощающей среды этот «отклик» однозначно определял также квадратичную по полю величину — плотность энергии. Особенно выпукло неоднозначное соответствие между линейным «откликом» и запасенной в системе энергией демонстрируется на примере дискретных
электрических цепей. Рассмотрим, например, известную из литературы цепь, изображенную на рис. 13.1. Если к такой цепи — двухполюснику приложено напряжение S = &ое~ш, го ток будет равен J = ]0е~ш = ё> /Z{со), причем Z = R при любых значениях параметра х, если самоиндукция L = xR я емкость
*) В состоянии термодинамического равновесия средние потери отсутствуют, и поэтому и в поглощающей среде средняя плотность электромагнитной энергии, являющаяся термодинамической величиной, в известном смысле (см. [181] и гл. 14) выражается через диэлектрическую проницаемость среды.
319 C = x/R*). В то же время энергия, сосредоточенная в цепи, равна
(M2
\2
LJx
+
2 С
и, разумеется, зависит от значений LhC.
Из приведенных рассуждений, конечно, совсем не следует, что для поглощающей среды вообще невозможно получить отдельные выражения для энергии или для диссипации. Простейший пример подобного рода — выражение для среднего по периоду количества тепла в случае монохроматического поля. Для строго монохроматического поля, очевидно, E0 = const (см. (13.43)). Далее ясно, что в этом случае усредненная по периоду энергия wE(t) неизменна по времени; поэтому из (13.40), (13.44) получаем
dw„ - - 1 OD (t) сое" (со)
-of- Л-Q = Q = gf- Е (0 = sS I Е° I • (13-47)
Рассмотрим теперь довольно поучительный случай поглощающей среды, называемой «средой без дисперсии», когда
= + (13.48)
причем є' и а вещественные и не зависящие от частоты величины. Диэлектрическая проницаемость такой среды є (со) == = г' + г'(4лст/со), разумеется, обладает очевидной частотной дисперсией, но тем не менее с физической точки зрения используемый термин «поглощающая среда без дисперсии» представляется разумным и после сказанного вполне ясным. Соотношение (13.28) в данном случае принимает вид
і С'Е'"?"'"') + + »-E - - -К IWIEH]. (13.49)
На первый взгляд из (13.49) и (13.40) следует, что величины w'(t) = (е'Е2 + H2)/8л и Q(t)=aE2(t) однозначно отождествляются с плотностями энергии и потерь, но на самом деле это неверно. Лишь в случае поля, изменяющегося со временем достаточно медленно, выражение для тепла (и в общем случае только оно) принимает написанный выше вид Q = оЕ2.
Действительно, при наличии дисперсии проницаемости є (со), т. е. для нелокальной во времени связи между рассматриваемыми величинами и полем, слагаемые dwE/dt и Q в соотношении (13.40)
dwr 1 OD
T+Q =TST^Te (13-5°)
*) Как ясно из рис. 13.1, S = JiR — IaLJl = Z1J1 = JzR-(J2IiayC) = = Z2J2 = Z(J1-^J2)=ZJ. Отсюда следует известное соотношение для параллельных цепей 1IZ = (1 /Z1 ) + (1 /Z2). Для рассматриваемой цепи действительно UZ =[!/(#- irnZ.)] + {!/[# —(1/гшС)]} = HR при любых и.
