Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь для определения нелинейных уравнений, связывающих три коэффициента Фурье, достаточно провести алгебраические выкладки, В результате имеем
(20.41)
Яс = л4(1+а2)3а-2,
(20.42)
JLtX^-oX + oY,
J-Y = rX-Y-XZ,
dx ’
±-Z = -bZ + XY,
(20.43)
’) Рэлей первым изучал бифуркацию зависящих от времени решений от не зависящих от времени решений (20.39).
Уравнения, приводящие к катастрофам
197
где (а — число Прандтля)
== +а2Х
V
(20.44)
<4.
Уравнения (20.43) представляют собой не что иное, как уравнения Лоренца, а из сказанного выше ясно, почему они привлекли внимание исследователей и каким образом они были первоначально получены.
Может возникнуть серьезное опасение, что грубое предположение, которым является (20.42), приведет лишь к «искажению» нелинейного уравнения (20.40). Численные расчеты показали, однако, что это не так. Причина того, что это не так, пока остается неясной, хотя теорема о центральном многообразии (разд. 7) проливает свет на этот вопрос.
Если к газу, заключенному в трубке, приложить слабый электрический потенциал, то через трубку потечет очень слабый ток (рис. 20.23). Когда разность потенциалов (V/D~<tГ, где <8 — напряженность электрического поля) станет достаточно большой, произойдет пробой газа вследствие ионизации и ток может стать ощутимым. Вольтамперная характеристика газовой трубки обладает высокой степенью нелинейности, и наблюдается явление гистерезиса. Процесс прохождения тока сопровождается испусканием света. (Кстати, именно по такому принципу работает неоновая лампа.)
Если проводящую трубку поместить внутрь соответствующим образом настроенной полости Фабри — Перо, уровень обратной связи может стать достаточно высоким, для того чтобы возник лазерный эффект. Ниже определенного порогового значения уровня накачки (электрического тока) лазерное излучение отсутствует; при уровне накачки, превышающем пороговый, лазер «включен». Процесс перехода от включения к выключению соответствует явлению бифуркации. При умеренных интенсивностях накачки на выходе из полости получаем устойчивое с течением времени излучение, описываемое плавной непрерывной функцией интенсивности накачки. Однако при превышении второго критического порогового значения лазер начинает сильно пульсировать, причем хаотическим образом [7].
5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА.
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЛАЗЕРНОГО РАЗРЯДА
198
Глава 20
7
hShH
7
Г\ЛЛЛЛЛЛЛ
KEHl'F
7
h2h|'|'F
Рис. 20.23. Ток через газовую трубку в полости Фабри — Перо обусловливает характер излучения.
а — прн слабом токе излучение отсутствует; б — при токе умеренной интенсивности излучение когерентно; в — прн сильном токе излучение носит хаотический характер.
Устойчивые аттракторы, заключенные между первым и вторым порогами, будут типа Мо или F2- X Мо. Устойчивый аттрактор, расположенный выше второго порога, является странным хаотическим аттрактором типа изученного Лоренцем [8].
Бифуркационные свойства лазера можно исследовать, анализируя совокупности уравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений движения, описывающих поведение вещества внутри полости. В классической механике такая совокупность уравнений называется системой уравнений Ньютона — Максвелла. Лазер является квантово-механической системой, и для нее соответствующие уравнения носят название уравнения Блоха — Максвелла. При описании лазера важными характеристиками являются напряженность электрического поля <g{x,t), поляризации !P{x,t), обусловленная ненулевым моментом электрического диполя между разными атомными или молекулярными уровнями, и инверсия заселенности, представляющая собой разность между числом атомов в возбужденном и базовом состояниях, определяющих лазерный переход.
Уравнения Блоха — Максвелла можно получить из уравнений Максвелла = 4n/v; = 4n/v), выражая источ-
ники зарядов и токи через микроскопические величины, такие, как элементы матрицы ?1. Эти уравнения можно упростить, представляя напряженность электрического поля и поляриза-
Уравнения, приводящие к катастрофам
199
цию в виде
=Е (лг, t) е1 ш-ьх) _j_ Комплексно-сопряженные члены,
У = Р (лг, _j_ Комплексно-сопряженные члены,
где coo, k — периоды по времени и по пространственной координате, е‘ш~кх) содержит всю быстро меняющуюся информацию, a E(x,t), P(x,t) — медленно меняющиеся функции. Система уравнений Блоха — Максвелла имеет вид (^ + с^+х)? = -2ш'ю°Р’
(ж+ v)P = w\Mge\2ED, (20.46)
где с — скорость света; Й — постоянная Планка, отнесенная к 2л; Mge — элемент матрицы ?1 для лазерного перехода; Do— инверсия заселенности, вызванная внешним источником энергии; х, у, Yu — скорости релаксации полей Е, Р, D соответственно.
