Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
(20.6) по возрастающему времени с использованием начальных условий (х0, у0) Ф (0, 0). Форма неустойчивого предельного цикла может быть найдена интегрированием по убывающему времени, начиная от критической точки. Как только будет установлен контур предельного цикла, можно при помощи контурных интегралов определить период движения
(Это условие будем использовать для определения канонической зависимости радиуса предельного цикла по бифуркации Хопфа.)
Рассмотрим случай |vf(0; а) | <С 1. Фокус в точке (х, у) = = (0, 0) устойчив, если yf(0; а) > 0, и неустойчив, если ¦у/(0;а)<<0. В связи с тем что траектории вокруг фокуса мед-
тойчивые периодические траектории Г1 X Л1о- Уравнение (20.6)
(20.7)
Исключая dt из (20.66), получаем
xdxydy — \F(x)dy — 0.
(20.8)
Поскольку xdx + ydy =-^d(x2 + у2), интеграл по замкнутому контуру от выражения (20.8) приводит к условию
(20.9)
170
Глава 20
бающее
множе-
ства
Отталки-
УстойчиВый у фокус
. Аттрактор
Рис. 20.6. Субкритическая бифуркация Хопфа приводит к устойчивому фо
Период предельного цикла фиксирован, а его радиус зависит от параметрического рас* стояния от точки бифуркации Хопфа по каноническому закону квадратного корня.
ленно закручиваются или раскручиваются, если величина yf(0,a) мала, значения x(t), y(t) в течение времени одного оборота приближенно определяются зависимостями xc^Rsinat, у ^ R cos at {а = 1). Чтобы найти радиус R предельного цикла, по форме близкого к окружности (когда этот предельный цикл существует), используем усеченное соотношение f(*;a)=a+j
ф [R3 sin3 0 + aR sin 0] (— R sin 0) dQ = — яR2 R2-\-a) = 0.
(20.10)
При а ф 0 имеется изолированная критическая точка, соответствующая значению R = 0, которая устойчива, если а > 0, и неустойчива, если а < 0. В случае а > 0 другие близкие решения отсутствуют, а при а < 0 имеется устойчивый предельный цикл радиуса
Эта докритическая бифуркация Хопфа показана на рис. 20.6 [1]. Период данного предельного цикла определяется соотношением
(20.7) и равен
положительный знак указывает на закручивание против часо-
кусу.
Зх2 -\-0 (4). Тогда
х си R sin 0, у ~ R cos 0, F (*; а) = х3 + ах,
(20.11)
(20.12)
вой стрелки; период связан с выбором <о — -\/k/m= 1.
Уравнения, приводящие к катастрофам
171
Релаксационные колебания
Большим значениям у (20.6) обычно соответствуют большие значения у. Чтобы избежать неудобств, связанных с проведением операций над большими величинами, введем новую переменную фазового пространства согласно соотношениям
y = \z, (20.13)
Тогда уравнения динамической системы принимают вид
4xT = y(z-F(x)), (20.14а)
(20.146)
Исключая t, можно записать уравнение интегральных кривых системы (20.14) в следующей форме:
(z-F(x))-?=-ф-(^0). (20.15)
При больших значениях у имеем либо
— 0, либо z — F(x)~ 0. (20.16)
Движение динамической системы в плоскости (х, z) показано на рис. 20.7 при F(х) = х3 + ах и а < 0. Два внешних отрезка
S-образной кривой — аттракторы, в чем можно убедиться путем анализа устойчивости в линейном приближении. Средний участок этой кривой, заключенный между двумя вертикальными касательными, представляет собой отталкивающее множество. При х > 0 имеем z < 0, а при х <. 0 будет z > 0. Если эволюция динамической системы начинается из точки А, система быстро приблизится к кривой 2= F(x) согласно уравнению (20.14а), поскольку значение у велико. Состояние динамической системы будет представлено точкой на этой кривой в фазовом пространстве. Указанная точка медленно перемещается влево, потому что z = —у-1*- Когда эта точка достигнет точки В, лежащей на пересечении с вертикальной касательной, произойдет быстрый скачок в точку С на нижней ветви, затем последует медленное движение вдоль кривой z = F(x) до точки D и внезапный скачок в точку Е [1].
При движении из других начальных точек А' и А" система достигает притягивающей части поперечного сечения сборки z=F(x) в результате быстрого перемещения (рис. 20.7). Как только система достигнет этой кривой, она будет совершать циклические движения по замкнутому контуру BCDEB по чередующимся быстрым — медленным — быстрым — медленным пе-