Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ КАТАСТРОФ И ТЕОРИЕЙ БИФУРКАЦИЙ
По существу, теория бифуркаций изучает вопрос о том, каким образом новые решения уравнения или системы уравнений «ответвляются» от некоторого известного решения при изменении параметра. Важный класс бифуркационных задач возникает при поиске стационарных значений функции. По этой причине можно ожидать, что между такими задачами и элементарной теорией катастроф существует тесная связь. Более того, можно сказать, что теория бифуркаций, изучающая новые, качественно отличающиеся решения систем уравнений, целиком укладывается в рамки теории катастроф.
Для большей конкретности рассмотрим потенциальную функцию F(x;s) п фазовых координат и одного управляю-
щего параметра seR1. Будем предполагать, что F(x;s) имеет критическую точку в х — 0 е R" при всех s. Тогда разложение F(x;s) в ряд Тейлора в окрестности этой критической точки имеет вид
V (х; s)=V (s) + x‘Vi (s) + -^r xlx’V{} (s) -f ... . (18.34)
(Как и ранее, все производные вычисляются в критической точке, постоянный член не играет роли и F;(s) = 0.) Критические точки остаются изолированными до тех пор, пока detF,7(s)=^ ф 0. Когда матрица устойчивости вырождается, к первоначальной ветви добавляется новая ветвь решений уравнения VK = 0. Эта ветвь может ответвляться от начальной ветви, ибо начальная ветвь может «развернуться» (в последнем случае x(s) = 0 не может быть критической точкой при всех s). Обе эти возможности уже обсуждались в предыдущем разделе.
Направление ответвления, новое решение, легко определяется из (18.34): это будет направление, в котором возмущение не изменяет значение потенциала во втором порядке: 8x‘8xlVi/ = = 8х‘(УцЫ)=0.
Таким образом, начальное направление нового ответвляющегося решения определяется собственными векторами матрицы
Градиентные динамические системы
129
Рис. 18.12. Простые кривые в плоскости управляющих параметров катастрофы сборки, будучи перенесены на критическое многообразие, порождают довольно странные решения.
Здесь s параметризует расстояние вдоль кривой в плоскости управляющих параметров.
устойчивости, соответствующими нулевым собственным значениям. На практике наиболее часто встречаются бифуркации, соответствующие «трезубцу» (симметричному поперечному сечению катастрофы сборки, рис. 10.2). На самом деле пример, обсуждавшийся в разд. 5, соответствует ряду изолированных бифуркаций этого типа (плюс «развороты»).
При изменении параметра s число решений уравнения УК(х; s) =0 может измениться. Если к ветви x(s)= 0 присоединяются новые решения, их можно исследовать с помощью алгоритма прогонки, описанного в предыдущем разделе. Если, однако, множество всех решений состоит из двух или более не связанных между собой компонентов, то алгоритм прогонки, начинающийся с магистрали x(s) = 0, уже не годится для построения несвязного множества всех решений.
Однако известно, что число решений уравнения V V (jc; s) = = 0 изменяется из-за наличия катастрофы. По этой причине целесообразно рассматривать общую бифуркационную задачу
б Звк. 811
130
Глава 18
27д Xq
Рис. 18.13. Разные кривые в плоскости управляющих параметров приводят к совершенно различным множествам решений.
Из различных кривых в плоскости управляющих параметров катастрофы сборки можно получить не более 53 различных неприводимых множеств решений [1J.
Аз а а5 6
Рис. 18.14.
а — это множество решений можно получить для катастрофы сборки; б—-это множество решений получить нельзя, поскольку в данном случае необходимо, чтобы катастрофа обладала по меньшей мере пятью критическими точками, т. е. в этом случае катастрофа Аъ является простейшей.
как задачу построения множества решений уравнения
vy(x;c) = 0, *e=RB, ceR‘, (18.35)
для некоторой одномерной кривой
с (s) = (с, (s), с2 (s), ck (s)) е Rk. (18.36)
Градиентные динамические системы
131
Хотя в пространстве управляющих параметров может быть много различных кривых, поведение V (х; с) в любой точке ceRft является каноническим и известным для элементарных катастроф. Если, например, потенциальная функция имеет критическую точку сборки, то в окрестности этой точки
у = 4 + + <18-37)
Таким образом, общая бифуркационная задача сводится к задаче отыскания множества решений уравнения VV = 0 для любого пути a(s), b(s) в пространстве управляющих параметров, зависящего от единственного управляющего параметра (длина дуги). Множество решений есть просто пересечение многообразия катастрофы сборки VV = 0 с двумерной линейчатой поверхностью (x,a(s), b(s)), точки которой параметризуются координатами х, s. В результате получаем одномерное множество решений (рис. 18.12). Другие пути дают другие множества решений (рис. 18.13).
