Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
*2
9>=\Z(q, q, t)dt. (15.123)
и
Из этого вариационного принципа выводятся уравнения движения Эйлера — Лагранжа:
Для получения системы квантоводинамических уравнений движения мйжно использовать следующий лагранжиан [18]:
S(q, q, t) = ('?\ijr-H\'?). (15.125)
Обобщенные координаты, входящие в S’, являются координатами, параметризующими класс пробных состояний [Ч1-.), используемых в этой вариационной формулировке.
Для рассматриваемых гамильтонианов (модель МГЛ) средние значения (W\.3@\4?) уже были получены. Остается вычислить среднее для id/dt. Проще всего это можно сделать, заметив, что состояние системы из N частиц описывается произведением индивидуальных волновых функций
|Ч') = П1^. (15.126)
«“1
(15.119)
(15.120)
(15.121)
(15.122)
Квантовая механика
49
Среднее от id/dt для отдельной частицы с волновой функцией
11|за) = col [zu z2, ..., zr] (15.127)
определяется как
г г
<Фа 11 ~§i I = * ? Z'i*i = J Yi Z^‘ ~ Zli'h (15‘128)
/ = 1 /=2
Последнее равенство было получено с учетом условия нормировки:
|zi|2 + |z2|2+ ... + |zr|2=l. (15.129)
Если все индивидуальные волновые функции одинаковы, среднее
id/dt для системы из N частиц просто в N раз больше индивидуального среднего значения. Тогда усредненный лагранжиан принимает вид
Г
l(z, z, t) = = y z’zj — zyz* — hc (z*. z). (15.130)
/=2
Уравнения движения определяются из соотношений
1 дЗ? i 1 дЗ? (• dhr
1Г dZj ~TZi' ~KT ~dZj ~ 2Zi dzf (15.131)
и имеют вид
dh„ dhr iz, =-— izj =-------------—(15.132)
1 dZj dZj
Чтобы выяснить, что означают эти уравнения и как их следует интерпретировать,_перейдем к декартовой системе координат Zj = (р/ — iqj)/д/2- В этой системе координат уравнения движения Эйлера — Лагранжа принимают каноническую гамильтонову форму с hc, выступающей в роли классического гамильтониана:
dhr dhr А = = 2</<г. (15.133)
Итак, удалось идентифицировать квантоводинамические уравнения движения с каноническими уравнениями Движения для классической системы. Следовательно, для описания и интерпретации. этих квантовомеханических уравнений движения можно воспользоваться всем аппаратом классической механики. В частности, гамильтоново движение консервативно. Это значит, что уравнения движения определяют траектории, лежащие на поверхности hc = Е. Для r-уровневых систем he есть функция от
2 (г—1) переменных, поэтому hc является 2 (г—1)-мерной поверхностью в R^-d+i. Гиперплоскость Е — const в R2''-1 имеет размерность 2 (г—1). Пересечение (если оно есть) этих двух
50
Глава 15
многообразий в R2r_1 имеет размерность 2г —3. Для двухуровневой системы такое пересечение одномерно и поэтому полностью определяет топологические свойства орбит.
Поскольку гамильтоновы системы консервативны, возникает вопрос о том, а не появляются ли признаки катастроф (гл. 9) при фазовых переходах. Ответ на этот вопрос утвердительный, и мы это продемонстрируем на примере модели МГЛ. Будем рассматривать траектории с фиксированной энергией, превосходящей на б основной энергетический уровень. Классический предел h.Q есть
(hQ)==±(e + V)p2-±Vp< +
+ у(е- W+ \Vq\ (15.134)
Если | V\ < е, то глобальный минимум находится в точке (р, q) = (0, 0). Кривые (ho) — б имеют форму эллипсов, которые становятся все более вытянутыми по мере приближения |F| к е. Как только |F| превзойдет е, в основном состоянии значение Eg/N изменится от нуля до Eg/N =
— —(| V| — 5) 2/41 V|. Кривые, определяемые уравнением
<^) = -'(J-4|T|8)- + 6> (15лз5)
все сильнее поджимаются к началу координат по мере возрастания | V |. В конце концов разность между значениями энергии в седловой точке и в двух точках глобального минимума становится равной б. В этот момент траектория принимает форму восьмерки. При дальнейшем увеличении сил взаимодействия орбиты разрываются, и в результате вокруг каждого из двух минимумов остается замкнутая, почти круговая орбита. Подобное качественное изменение траектории при фазовом переходе второго рода показано на рис. 15.7.
Такое вытягивание орбиты, ее сжатие и наконец распад на две при фазовых переходах второго рода в случае консервативной динамической системы называют критическим удлинением. Для консервативных динамических систем это один из симптомов наличия катастрофы, который можно рассматривать как
о о
