Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Автономные динамические системы
137
Fz-0 Fz-0
F, = 0
-FfO
-FfO
-F,=0
-Fj'Q
-F,=0
-FrO
Fr-0
Рис. 19.1. Структурно неустойчивая динамическая система (б) располагается между двумя структурно устойчивыми динамическими системами (а и в).
Гг-О
Рис. 19.2. Кривые Fi = 0 и их пересечения определяют качественное поведение и фазовый портрет двумерной динамической системы.
138
Глава 19
2.2. F = О
В качестве следующего шага глобального анализа динамических систем имеет смысл найти точки равновесия, в которых F\{x,y) =0, F2(x, у) =0. Эти точки будут располагаться в точках пересечения кривых F\ = 0 и F2 = 0. Свойства устойчивости динамической системы в положении равновесия можно определить, линеаризуя эту систему в окрестности точки равновесия. Если л:0 — точка равновесия, то, положив 6х = х— х°, получим
Локальные динамические и структурные свойства устойчивости определяются собственными значениями матрицы устойчивости Fij — dPi/dXj, вычисленной в критической точке х°.
Будем считать, что в двумерной динамической системе состоянием равновесия является начало координат. Тогда линеаризованные уравнения движения имеют вид
Действительную (2 X 2)-матрицу F очень удобно представить в виде спиновой матрицы Паули следующим образом;
Для двумерных динамических систем имеет место однозначное соответствие между точками (Я, со, г, s)eR4 и устойчивостью матриц F (19.8). Удобно ввести следующую запись; R4 = R' х X R3 и Я е R1, (и, г, s)eR3.
Конус г2 + s2 — со2 = 0 в R3 является сепаратрисой, разделяющей матрицы устойчивости F с действительными (г2 -j- s2 —
— со2>0) и комплексными (r2 + s2 — со2 < 0) собственными значениями.
Если собственные значения действительны и различны, данная динамическая система локально эквивалентна некоторой градиентной системе. В этом случае динамическая устойчивость изменяется только тогда, когда det F = Я2 + а>2 — г2 — s2 = 0. Поэтому для любой точки (со, г, s) е R3, лежащей вне конуса r2-j-sa — to2 = 0, прямая R1 разбивается на три открытые обла-
4-(*° + 6x)i = Ft (х° + 6х) = Ft (х°) + bXj + 0{2),
jT6xt = Fti6xi + a(2).
(19.6)
(19.7)
К г s И- со
s — (о Я — г
]•
(19.8)
Собственные значения F равны
Я± = Я ± л!г2 + s2 — со2.
(19.9)
Автономные динамические системы
139
'(со, r7s)
S
(+.-) (+.+) ---------------- » -...—«-И
-Vrz+sz~tuz +Vr2*s2-co2
Рис. 19.3. Когда точка (со, г, s) лежит вне конуса, оба собственных значения матрицы устойчивости действительны и динамическая система локально эквивалентна градиентной.
Инерция этой системы зависит от \ и (г2 + s2 — ш2) '/г.
сти, характеризующие системы градиентного типа с собственными значениями (+, + ), (+, —), (—, —) (рис. 19.3) и с критическими точками — неустойчивым узлом, седлом и устойчивым узлом соответственно.
Точки, лежащие внутри конуса r2 + s2— со2 = 0, характеризуют динамические системы, локально не эквивалентные градиентным. Качественное поведение таких систем определяется знаками действительных и мнимых частей собственных значений
Применяя к системе уравнений (19.7) преобразование подобия, можно привести ее к виду
Данная система уравнений динамически устойчива, если Я < О, и неустойчива, если к > 0. Движение происходит по часовой стрелке, если о/> 0 (т. е. ш>0), и против часовой стрелки, если со < 0. Эти четыре качественно различных типа поведения системы показаны на рис. 19.4. Критическая точка называется устойчивым фокусом, если X < 0, и неустойчивым фокусом, если
(19.10)
со' = sign (со) д/to2 — г2 — s2.
(19.11)
Х>0.
140
Глава 19
-К—-*
Качественное
Рис. 19.4. Фокус в изолированной критической точке может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от того, %. < 0 или %. > 0.
Направление движения зависит от знака со.
Пространство R4, представляющее (2 X 2)-матрицы устойчивости F, разбивается на семь открытых областей, описывающих семь качественно различных типов динамического поведения системы. Эти открытые области структурно устойчивы и разделяются сепаратрисой, содержащей компоненты размерности 3,
2, 1, 0 и потому имеющей меру нуль. Три из них описывают динамически устойчивые системы.
3. ГЕОМЕТРИЯ МАТРИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ
3.1. п = 2
В критической точке n-мерной динамической системы матрица устойчивости Fij может быть представлена точкой прост-
Автономные динамические системы
141
ранства R". Это пространство разделяется на ряд открытых областей, параметризующих системы с качественно различным изменением динамической устойчивости. Открытые области отделяются одна от другой сепаратрисой в R" с компонентами размерности л2 — 1, л2 — 2, ..., 1,0 и, следовательно, имеющей меру нуль. Сепаратриса параметризует структурно неустойчивые матрицы устойчивости. Структурная неустойчивость может возникать по двум причинам: