Основы вихревой теории - Гельмгольц Г.
ISBN 5-93972-109-5
Скачать (прямая ссылка):
1Mecanicue analityque. Paris, 1815. Т. II, p. 304.
2Histoire de l’Acad. des Sciences de Berlin. An. 1755, p. 292.
8
Об интегралах уравнений гидродинамики
и отыскания метода для его измерения обуславливались, главным образом, пожалуй, тем, что не имелось вовсе наглядного представления о формах таких движений, которые вызываются в жидкости трением. В этом отношении мне казалось поэтому весьма важным подвергнуть исследованию формы движения, при которых не существует потенциала скоростей.
Дальнейшее исследование покажет нам, что в тех случаях, где существует потенциал скоростей, мельчайшие частицы жидкости не имеют вращательного движения, но, по крайней мере, часть жидких частиц находится во вращении, поскольку потенциал скоростей не имеет места.
Вихревыми линиями я называю линии, проведенные в жидкой массе таким образом, что их направление повсюду совпадает с направлением мгновенной оси вращения лежащих на них частиц жидкости.
Вихревыми нитями я называю части жидкой массы, которые выделяются из нее, если через все точки контура бесконечно малого элемента поверхности провести соответственные вихревые линии.
Исследование показывает, что если для всех сил, действующих на жидкость, существует потенциал сил, то:
1) ни одна жидкая частица не может прийти во вращательное движение, если только она не обладала им уже с самого начала;
2) жидкие частицы, расположенные для какого-нибудь момента времени на вихревой линии, всегда будут и при своем перемещении принадлежать одной и той же вихревой линии;
3) произведение поперечного сечения на скорость вращения для бесконечно тонкой вихревой нити на всем ее протяжении постоянно и сохраняет свою величину при передвижении нити. Поэтому вихревые нити должны внутри жидкости замыкаться в себе; они могут оканчиваться не иначе, как на ее границах.
Это последнее положение дает возможность определить скорости вращения, если дана форма соответственных вихревых нитей для различных моментов времени3. Далее разрешается задача об определении скоростей жидких частиц для известного момента времени, если для этого момента даны скорости вращения; при этом остается неопределенной только одна произвольная функция, которую нужно определить так, чтобы удовлетворялись граничные условия.
3Решения этой задачи Гельмгольцем не дано. — Прим. ред.
Об интегралах уравнений гидродинамики
9
Эта последняя задача приводит нас к замечательной аналогии между вихревыми движениями жидкости и электромагнитными действиями электрических токов. Именно, если в односвязном4 пространстве, заполненном движущейся жидкостью, существует потенциал скоростей, то скорости жидких частиц совпадают по величине и направлению с теми силами, которые проявили бы известным образом распределенные на поверхности пространства магнитные массы на магнитную частицу, помещающуюся внутри него. Если же, напротив, в таком пространстве существуют вихревые нити, то скорости жидких частиц нужно положить равными силам, возникающим от действия на частицу замкнутых электрических токов, которые частью проходят по вихревым нитям внутри массы, частью по ее поверхности, и сила которых пропорциональна произведению поперечного сечения вихревых нитей на скорость вращения.
Ввиду этого в дальнейшем я позволю себе часто воображать присутствие магнитных масс или электрических токов для того только, чтобы, пользуясь этим, получить более краткое и наглядное выражение для природы функций, которые являются именно такими функциями от координат, как потенциальные функции или силы притяжения указанных масс или токов на магнитную частицу.
Благодаря этим положениям, целый ряд форм движения, скрытых в неразработанном классе интегралов уравнений гидродинамики, становится, по крайней мере, доступным представлению, хотя окончательное выполнение интегрирования возможно лишь для немногих простейших случаев, когда имеется только одна или две прямолинейные или круговые вихревые нити в безграничных или только отчасти ограниченных бесконечной плоскостью жидких массах.
Можно доказать, что прямолинейные параллельные вихревые нити в жидкой массе, ограниченной только перпендикулярными к нитям плоскостями, вращаются вокруг общего их центра тяжести, если для определения этой точки принимать скорость вращения равной плотности массы. Положение центра тяжести остается неизменным. Нао-
4Я употребляю это выражение в таком же смысле, в каком Riemann (Crelle’s Journal, Bd. LIV. S. 108) говорит об односвязных и многосвязных поверхностях. Так что n-связное пространство есть такое пространство, которое можно пересечь не более, как (п— 1) поверхностями, не разделяя его на две совершенно разъединенные части. Так кольцо в этом смысле есть двусвязное пространство. Пересекающие поверхности должны быть вполне ограничены замкнутой линией, по которой они пересекают границы пространства.
10
Об интегралах уравнений гидродинамики
борот, в случае круговых вихревых нитей, которые все расположены перпендикулярно к общей оси, центр тяжести их поперечного сечения перемещается параллельно этой оси.
