Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
255
Посмотрим, как выглядит (6.4.52) в данном случае уравнение Крамерса. Оно эквивалентно дифференциальному уравнению
dv
di
-y~'PL2Li1L2v .
Заметим теперь, что
Uv =
™ и J- U'(y) — \ р0(и) J dll’ р(и', у, t)
(6.4.54)
(6.4.55)
(где Р0(и) определено (6.4.34)).
Для этой задачи удобно ввести собственные функции оператора процесса Орнштейна — Уленбека (разд. 5.2.6в), которые для данных параметров
1?) = к = 1
имеют вид
Р„(и) = (2я)~1/2 ехр (~-\u2)Qn(u), где
Qn(u) = (2"/,!)'I!2H„(«(VT).
Используя LtP„(it) =- —пР n(ii)
и рекуррентные формулы для полиномов Эрмита ,yH„(.y) = ?Ня+1(л-) -L /iH„_,(.y)
^[e-^HXv)] = - e-2H„+,(.v), мы видим, что
L2v
Pi(u)P(y) ,
(6.4.56)
(6.4.57)
(6.4.58)
(6.4.59)
(6.4.60) (6.4.6!)
(6.4.62)
так что с учетом (6.4.59) L~/L2v =-¦= U'(у) -г- Р,(и)р(у)
(6.4.63)
256 Глава 6
Применим оператор L2 еще раз и снова используем соотношения (6.4.60, 61):
PL,L~'Uv
у/ 2 Рi(u) + Ро(к) д
у - VI Рг(и)и'(у)
д_
ду
UX.V) +
ду.
Р(у)Ро(и).
(6.4.64)
(6.4.65)
Уравнение движения (6.4.54) после избавления от множителя Р0(и) принимает вид
= -1 А
dt ' ду
U'(y)p
¦ Ш ' 3>'J
(6.4.66)
и представляет собой в точности уравнение Смолуховского, полученное примитивным методом исключения, описанным в разд. 6.4.
6.4.3. ПОВЕДЕНИЕ НА МАЛЫХ ВРЕМЕННЫХ МАСШТАБАХ
Следует иметь в виду, что при переходе к пределу у —¦ оо в (6.4.52) подразумевается, что 5 конечно; иначе говоря,
7 j . (6.4.67)
Таким образом, решение методом преобразования Лапласа будет иметь силу лишь в случае, когда
s у . (6.4.68)
Для оригинала Лапласа это означает, что
Определим
.V, г/"1.
Тогда (6.4.51) принимает вид
ysiV = PL2[sxy - Lxy — (1 — P)L2]~lL2v + v(0)
(6.4.69)
(6.4.70)
(6.4.71)
В пределе 7 — 00 получаем
ys,v = y~'PL2(si — Ll)~'L2v + t>(0)
(6.4.72)
Приближенные методы для диффузионных процессов 257
Учитывая, что пропорционально Р,(м) (см. (6.4.62)), получаем ySlv = y-'Cv. + 1 У'РЦО + v(0). (6.4.73)
Возвращаясь к переменной 5 и преобразуя, находим
SV
r'(y+l) lPLlv + v(0),
что эквивалентно
riv 1
j- = \dt' ехр [y(t' — t)]PL\v(t')dt. ot о
С другой стороны, можно переписать (6.4.74) в виде
у- [s2v — .то(0)] + [sv — г>(0)] = y~lPL\v,
(6.4.74)
(6.4.75)
(6.4.76)
что с учетом (6.4.46) и результатов разд. 6.4.2 эквивалентно уравнению для р
1 d2l I Ш = v-i А
у dt2 ^ dt 7 ду
иш + %
(6.4.77)
начальным условием для которого служит f(0) = 0, поскольку
] е-“/"(0 = J2/(J) - j/(0) -/'(0) о
и в первой скобке в (6.4.76) отсутствует постоянный член. Аналогично мы можем преобразовать (6.4.75) или проинтегрировать (6.4.77) и получить
др _ д dt ду
и\у) +
ду
J dt' ехр [y{t’ - t)]p{t').
(6.4.78)
Уравнения (6.4.77, 78) носят немарковский характер. Это отчетливо видно в (6.4.78), где предсказание значения p(t + At) требует знания p(t') для О ^ t' < t. Однако ядро ехр(7(?' - t)) существенно отлично
258 Глава 6
от нуля только для I [' — t\ ~ у~х, и поэтому на значительно больших временных масштабах уравнение (6.4.78) аппроксимируется уравнением Смолуховского (6.4.66). Формально мы приходим к этому, проводя в (6.4.78) интегрирование по частям:
J dt' exp [y(f - _ r. j exp W _ 0] dl dt>. (6.4.79)
n У o m
Отбрасывая последний член как имеющий порядок у % вместо уравнения Смолуховского мы получаем
(6.4.80)
Это уравнение до низшего порядка по у эквивалентно (6.4.78) для всех времен, т. е. для малых (< 7-1) и больших (> 7-1) времен. Оно указывает характерное «время памяти», у~!, которое должно пройти, чтобы уравнение перешло в уравнение Смолуховского.
С точностью до этого порядка процесс, следовательно, можно считать марковским, но существуют и альтернативные выражения (6.4.77, 78), которые с точностью до этого же порядка не являются марковскими процессами. Ясно, что при более высоких порядках мы имеем дело с немарковскими процессами.
6.4.4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Рассмотрим границу в точке у = а, когда положение частицы ограничено областью у ^ а. Поведение частицы при и > 0 и и < 0 различно.
Из стохастических дифференциальных уравнений dy = и dt
(6.4.81)
du = —\U\y) _1“ yu\dt + у/2у dlV(t) мы видим, что
