Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
3.4.1. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕПМЕНА — КОЛМОГОРОВА
Рассмотрим временную эволюцию математического ожидания (или, иначе, среднего значения), функции f(z), которая предполагается дважды непрерывно дифференцируемой. Имеем
д, f dxf(x)p(x, t\y, t')
= lim {J dxf(x)[p(x, t + At\y, t’) - p(x, f|j>, t')]}/At (3.4.8)
Дг—0
= lim {/ dx / dzf(x)p(x, t -f At\z, t)p(z, t\y, t')
Дг-0
- j dzf(z)p(z, tjy, t')}/At, (3.4.9)
где в (3.4.8) в члене с положительным знаком использовано уравнение Чепмена — Колмогорова для перехода к соответствующему члену в
(3.4.9).
Теперь разобьем интегрирование по х на две области: Ix - z\ ^ е и Iлг — zl < е. Когда \х — z\ < ? вследствие сделанного предположения о том, что f(z) дважды непрерывно дифференцируема, можем записать
ЛО -ж> + - *,) + хЦЩ <*, - *,х*, - *,>
+ I* - z12Л(дг, z) , (3.4.10)
где (опять же в силу существования двух непрерывных производных) имеем
|Л(х, z)| — 0 при \х — z| — 0. (3.4.11)
Подставляем теперь (3.4.10) в (3.4.9); находим
(3.4.9) = lim ( ГГ dxdz
V(X‘ Zi) + S 2 (A”' Z‘)(X} Zj)dzfizj
Марковские процессы 79
X р(х, t + At \z, t)p(z, t\y, t')
+ J J dxdz | X — z 12R(x, z)p(x, t + At I z, t)p(z, t\y,t')
\x — Zl <e
+ JJ dxdzf(x)p(x,t-\-At\z,t)p(z,t\y,t')
+ JJ dxdzf(z)p(x,t-\-At\z,t)p(z,t\y,t')
Ix-zl <e
- JJ dxdzf(z)p(x, t + At\z, t)p(z, t') .
(3.4.12)
[Отметим, что поскольку p(x, f + At\z, t) есть вероятность, то интегрирование по х в последнем члене дает 1 и получается просто последний член соотношения (3.4.9).]
Рассмотрим теперь приведенное выражение построчно.
Строки 1,2: в силу предположения о равномерной сходимости переходим к пределу под знаком интеграла и (используя условия 2 и 3 разд. 3.4) получаем
Строка 3: это остаточный член, исчезающий при е — 0; действительно,
Вследствие (3.4.11) сомножитель в фигурных скобках обращается в нуль при е — 0.
Строки 4 — 6: все эти члены можно объединить и получить
JJ dxdzf(zW(z\x, t)p(x,t\y, t') - W(x\z, t)p{z, t\y, t')]. (3.4.15)
Все выражение в правой части в (3.4.12) не зависит от е. Поэтому, переходя к пределу е — 0, находим
+ J dzf(z){jdx[W(x\z, t)p(x, t\y, t') - Щх\z, t)p(z, t\y, ?')]} • (3.4.16)
(3.4.13)
Д- J dx \x — z\2R(x, z)p(x, t + At\z, t)\
< — Г dx \x — z\2n(x. t A-At\z. t) Max |/?(x, z)|
- E Bu(z, t) + 0(?)] {Max [ R(x, z) |}.
i lx-zl<e
(3.4.14)
tx-zi>e
80 Г лава 3
Нужно отметить, что здесь использовано определение
lim J dx F(x, z) = jdx F(x, z) (3.4.17)
8~° lx-tl >S
главного значения интеграла от функции F(x, z). Для того чтобы формула (3.4.16) имела смысл, этот интеграл должен существовать. Уравнение (3.4.1) определяет JV(xlz, t) только для х Ф z, поэтому остается возможность, что эта величина бесконечна при х = z. Это в самом деле имеет место для процесса Коши, обсуждавшегося в разд. 3.3.1, для которого
W(x\z, t) = \/[п(х - z)2] . (3.4.18)
Однако, если функция р(х, t\y, t') непрерывна и дифференцируема, то интеграл в смысле главного значения существует. В дальнейшем этот интеграл не будет записываться явно как интеграл в смысле главного значения, поскольку сингулярные случаи, где такая запись необходима, встречаются довольно редко.
Наконец, совершаем последний этап преобразований, интегрируя по частям, и находим
jdz f(z)d,p(z, t\y,t') = jdz f(z) A‘(z’ 0p(z, 11У, t')
+ ^ T dz&j BlJ(Z' ?^(Z’1!y’1 ^
+ jdx[W(z\x, t)p(x, t\y, t') - W(x\z, t)p(z, t\y, /')].
+ интегралы по поверхности. (3.4.19)
В приведенных формулах не уточнялись пределы интегрирования. Допустим теперь, что процесс происходит в области R с поверхностью S. Тогда ясно, что
р(х, t\z, О = 0, (3.4.20)
если х или z не принадлежит R. Очевидно также, что по определению W(x\z, t) = 0, (3.4.21)
если дг или z не принадлежит R. Отметим также, что определение (3.4.2, 3) функций At(z, t) и ?,-,(2, О допускает их разрывность, поскольку условная вероятность р(х, t + At\ z, t’) вполне может менять-
Марковские процессы 81
ся скачком при- пересечении переменной z границы области R. Это отражает тот факт, что переходы внутрь R извне не разрешены.
При интегрировании по частям приходится дифференцировать как Aj, так и Bjj, и по изложенным выше причинам нельзя считать, что это возможно на границе области. Чтобы обойти эту трудность, выберем произвольную функцию f(z), такую, чтобы она была отлична от нуля только в некоторой произвольной области R', целиком содержащейся в R. Тогда можно заключить, что для всех z, лежащих внутри R, справедливо уравнение
