Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Показать, что плотность вероятности г, при условии, что передано x^t), равна
P(r I *1 (0) =
W(2/V„ + $) Л^о (Л^о'Ф'й’)
ехр
[W(2/V0+W)
ехр
г > 0,
0.
Показать, что р(л|х2(/)) = р(—/i*i(/))-
(в) Использовать результаты, полученные в пункте (б), для того чтобы показать, что при применении декодирования по максимуму правдоподобия вероятность ошибки в решении того, какая из этих функций была передана, задается равенством
1
Ре =-----------•
2 + g/TVo .
(г) Сравнить этот результат с границей вероятности ошибки (8.6.22), положив Х1 = кХ] = 0 для j > 1.
(д) В интегральном уравнении (8.6.7) положим 7\ = Т и примем, что .5Ф(т) = CSIT при всех т из области (—Т, Т). Показать, что отсюда вытекает, что Я, = $ и Xj = 0 для / > 1. Указать качественно, как приведенное выше предположение отражается на величине допплеровского разброса в канале в сравнении с Т-1.
8.22. (а) Используя модель канала связи и обозначения § 8.6, показать, что декодирование по максимуму правдоподобия может быть выполнено, если выбирать сообщение т, для которого максимально выражение
2 оо .
л 1
(ё) Показать, что указанная выше сумма равна
2 Т,/2 ( Tt/2
У1. m (т)
2l/
Ф
Показать, что выражение в квадратных скобках может быть истолковано как импульсный отклик соответственно выбранного изменяющегося во времени линейного фильтра.
8.23. Предположим, что собственные значения kj в (8.6.7) обладают тем свойством, что
_(к; 1 < /< п,
1 \0; / > я,
где п = STJK. Для р = 1 изобразить на графике Е0 (р, Т) как функцию X/N0, считая, что ST фиксировано. Изобразить также
lim
р-о
Е о(р, Т)
как функцию X/N0 при фиксированном ST. Какое заключение можно сделать из этого о наиболее благоприятных значениях отношения сигнал/шум на степень свободы в принятом сигнале (т. е. %/N0) для низких и высоких скоростей передачи?
Глава 9
9.1. Источник порождает независимые равновероятные двоичные символы. Найти и изобразить на графике скорость как функцию искажения для этого источника с каждой мерой искажения, указанной ниже. Опущенные переходы в диаграмме соответствуют бесконечным искажениям.
Источник dfA;jr) Адресат W (7)
О
Указание: используя симметрию, попытайтесь угадать Р (/1 k) и проверьте ваш результат, используя выпуклость ^(Q, Р) по Р. Заметим, что вторая мера искажения дает пример не строго выпуклой w функции R (d*).
9.2. (а) Рассмотреть следующую схему кодирования источника и первую меру искажения из предыдущей задачи. Разобьем выход источника на последовательности из 7 символов в каждой. Для заданного (7.4) — кода Хэмминга с проверкой на четность закодируем каждую последовательность из 7 символов в 4 информационных символа кодового слова, ближайшего к заданной последовательности. У адресата, представим последовательность источника выбранным кодовым словом. Скорость для такой схемы равна */7 In 2 нат на букву источника. Найти среднее искажение для такой схемы и сравнить его с R (d*).
(в) Для произвольного I использовать ту же схему с (21 — 1, 21 ~1—1)-кодом Хэмминга и найти скорость и среднее искажение.
572
9.3. Для источника и второй меры искажения из задачи 9.1 найти простую схему кодирования, для которой скорость для любого заданного среднего искажения равна R (d*), вычисленной для этого среднего искажения.
9.4. Источник порождает независимые равновероятные буквы из алфавита объема 4. Показать, что скорость как функция искажения для источника и меры искажения, заданной на рисунке, имеет указанный вид.
Источник d(k;j) Адресат
(к) ' О)
9.5. Источник порождает независимые равновероятные буквы алфавита из 5 букв. Мера искажения показана на рисунке (где опущены переходы, соответствующие бесконечному искажению, и включены переходы с нулевым искажением).
Источник d(k,j) Адресат
(а) Найти скорость как функцию искажения для этого источника и меры искажения.
(б) Показать, что для любой скорости R > In (5/2) существуют коды с достаточно большой длиной блока N, содержащие не более чем ew^ кодовых слов и имеющие нулевое искажение.
Указание: используйте лемму 9.3.1 и заметьте, что если по ансамблю кодов Рс (D > 0) < 5~n, то по крайней мере один код должен иметь нулевое искажение [см. Пинкстон (1967)].
В некотором смысле эта задача двойственна задаче 5.11 (б). Удивительно, однако, что в той задаче С0 неизвестно, в то время как здесь соответствующий результат так прост.
