Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя (8.6.19) в (8.6.18) и (8.6.18) в (8.6.16) и замечая, что у„ здесь является переменной интегрирования, получаем
МУш)(М— 1)р Ро (Ут-)
Pi (Ут') Ри (У„
иРо (Ут-) Ру (Ут)
= (М— 1)р $ Рх (уту/(1 + р) Ро (ут)р/( 1 + р) аут х х [$р1 (ут')1/{1+р) Ро (Уm')p/(1+p) dy,n'\ (М— 1)Р [ J рх (ут)> /( >+р) р0 (ут)Р/( >+ р) dy
/(l+p) ip dym- \ dy„
1+Р. (8.6.20)
Подставляя (8.6.12) и (8.6.13) в (8.6.20), заметим, что интеграл по ут распадается на произведение интегралов по компонентам yiiTnj. Они представляют собой интегралы от гауссовских функций, зависящих от /, но не от i. Имеем
Pi (Ут)1 /(1+р) Ро (ут)р/( 1+ р) dym\1 + Р =
= п -------[1 + W)]P . (8.6.21)
/=1 (1+PVH1 + P) лг0]}1+р Так как этот результат справедлив для всех J, то можно перейти к пределу при J -> оо и получить результат в виде
Ре,т<(М-1)рехр[-Т?0(р, Г)],
где
(8.6.22)
?о(Р,
(1 +р) In ( 1 +-
Р Xj \
(1+р) N0
/ Xj
р In f 1 + — \ No
. (8.6.23)
Как обычно в задачах, связанных с собственными значениями, результаты можно упростить, полагая интервал времени большим. Для того чтобы указать на зависимость собственных значений от интервала приема 7\ = Т — L, будем теперь писать Х3(Тх) вместо Xj. Взяв производную от ?0(р, Т) по ^(TJ, можно заметить, что каждое слагаемое возрастает по Xj с ограниченным наклоном. Поэтому, если Sa(f) ограничена и интегрируема, то можно применить лемму 8.5.3 и получить*1
*) Из доказательства леммы 8.5.3 следует, что сходимость в (8.6.24) равномерна по р при 0 < р < 1, однако этот результат здесь не потребуется.
15* 451
lim 2d (W-r>)ln
Ti^oall j= 1
1 +
|(1 + P)
1-f
Ph (Ti)
(1 +P)/V0 pSa (/)
p]n
vi i=i
i +
M?\)
N a
pin (1+^1 ][<//. (8.6.24)
Nn
(I + p) N0_
— OO
Так как L фиксировано, то TJT стремится к 1 при 7\ оо и поэтому
?0(p) = lim Е0{р, Т) =
Т -> оо
Г , _L_ pSa (/)
{(1+р) 111 ll +
(1+P) N0\
--- р In Г i 1 Sa 1
L N0
j. df. (8.6.25)
Отсюда следует, что для любого р, 0 ^ р ^ 1, и любого е > 0 можно выбрать Т достаточно большим, так что для любого М и всех т, 1 ^ т ^ М,
ре, т<(М — 1)р ехр {—Г [?0 (р) — &]}. (8.6.26)
Прежде чем интерпретировать этот результат, полезно ввести еще одну степень свободы в эту ситуацию. Величина S задает полную мощность сигнала, имеющуюся на приемнике, и так как S пропорциональна мощности передатчика, то ее можно понимать как мощность передатчика, нормированную к приемнику. Если передатчик не имеет ограничений на пиковую мощность, но имеет ограничение на среднюю мощность 5 (при нормировке на приемнике), то^.одна из > возможностей, существующая для передатчика, состоит в использовании на передачу кодовых слов доли времени 0 с мощностью передачи 5/0 в течение этого времени. Назовем Q коэффициентом занятости передачи. Можно также сделать 0 большим, чем 1, перекрывая время передачи последовательных кодовых слов путем использования разных полос частот для последовательных слов. Пусть Г' = Г/0 — время (в секундах) между началами последовательных кодовых слов. Тогда можно получить произвольную скорость передачи R в натуральных единицах в секунду, используя М кодовых слов, где
М-.
T’R
(8.6.27) ехр (ГК),
Оценивая сверху (8.6.26) с помощью неравенства М — 1 считая, что S/0 — средняя принимаемая мощность в течение передачи, и подставляя Г'0 вместо Г, находим, что для любого е > О существует такое достаточно большое Т', что
?0(р, 5, 0),= 0 где
452
; ехр { —Т' [ — pR + ?0 (?> s> Q) — е]>, РА (/)
(8.6.28)
(1 + р)1п
1 +
A(f)¦
1 + р 5а (/)
ел^о
pin [1 + A(f)]\df, (8.6.29) (8.6.30)
В этом случае, требуемая величина Т' при заданном е > 0 зависит от 0 и становится неограниченной при 0 -> 0.
Свойства показателя экспоненты в (8.6.28) при фиксировнных 0 и S аналогичны свойствам показателя экспоненты — pR +- /^(р, Q) при фиксированном Q, которые были рассмотрены в § 5.6. В частности, Ео(0, S, 0) = 0 и
A(f)
дЕ о (р, S, 0)
до
