Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
390
При этом ограничении х\ = 0 для п > N и, следовательно, I(KN\ Yn) = IT[X(ty, V(01- Пропускная способность в секунду при этом ограничении задается формулой
„ N , /' . , 2ST
С = — log 1 ----------
2 Т \ N0N
Сформулируем этот результат как теорему, 2WT вместо N.
(8.2.8)
используя обозначение
Рис. 8.2.1. Параллельные дискретные по времени каналы, соответствующие непрерывному по времени каналу.
Рис. 8.2.2. Пропускная способность канала с белым гауссовым шумом и с 2 WT степенями свободы.
Теорема 8.2.1. Пусть выход непрерывного повремени канала представляется как сумма входа и белого гауссова шума со спектральной плотностью ЛУ2. Пусть вход ограничен по мощности величиной S и представляется на интервале времени длины Т как линейная комбинация 2WT ортонормальных функций. Тогда пропускная способность канала на единицу времени задается равенством
C = nog(l+^-). (8.2.9)
Равенство (8.2.9) — знаменитая формула Шеннона для пропускной способности канала с белым гауссовым шумом и сигналом на входе, ограниченным по полосе и мощности. Как было показано, для больших WT имеется около 2WT степеней свободы у множества входных сигналов, ограниченных во времени интервалом длины Т, а по частоте, приближенно, полосой W. В § 8.5 эта связь между числом степеней свободы и шириной полосы частот станет яснее и результат (8.2.9) будет установлен для каналов с ограниченной полосой частот, а не для_каналов с ограниченным числом степеней свободы.
р На рис. 8.2.2 приведен график С как функции W в соответствии с (8.2.9). Из него видно, что С быстро возрастает с ростом W до тех пор, пока W не становится приближенно равной S/N0. Затем С возрастает более медленно, приближаясь к пределу (S/N0) loge при W оо. Это в сочетании с (8.2.7) приводит к следующему следствию из теоремы 8.2.1.
391
Следствие. Пропускная способность на единицу времени канала с белым гауссовым шумом, с входной мощностью, ограниченной S, и с неограниченным числом степеней свободы задается формулой
Coo = (S/N0) log е. (8.2.10)
Для того чтобы достичь пропускной способности при ограничении 2WT на число степеней свободы, следует энергию сигнала на одну степень задать равенством х„ — S/2W. Следовательно, точка W = = S/N0 рис. 8.2.2 соответствует отношению энергий сигнала и шума, равному единице на одну степень свободы. При W > S/N0 энергия сигнала на степень свободы меньше, чем энергия шума на степень свободы и при Wоо энергия сигнала на степень свободы стремится к нулю. Этот результат сначала кажется странным и противоречащим интуиции, так как, когда W возрастает, мощность сигнала распространяется все более тонким слоем на все большее число степеней свободы и, следовательно, кажется утопающей в шуме. Однако, как будет показано далее, различимость любого заданного кодового слова в шуме никак не связана с числом ортонормальных функций, используемых для задания кодового слова. Только наличие большого числа степеней свободы позволяет произвести хорошее разделение различных кодовых слов.
Вероятность ошибки для двух кодовых слов
Для непрерывных по времени каналов кодовые слова в коде будут функциями времени (или в более общем случае векторными функциями времени). При заданном множестве ортонормальных функций Фх(0>Фг(0. ••• эти кодовые слова могут быть представлены как векторы. Таким образом, m-е кодовое слово xm(t) может быть представлено в виде
Хщ (0 2 ^т,п Фп (0>
(8.2.11)
*т,п=1*т(0фп(0^-
Если кодовые слова имеют не более чем N степеней свободы, то эти кодовые слова можно рассматривать как блоки длины N, и поэтому здесь могут быть непосредственно применены результаты гл. 7. Однако будет более поучительно начать здесь сначала и вывести вновь те результаты, которые относятся к частному случаю, когда допустимое число степеней свободы неограниченно. Начнем со случая двух кодовых слов Xi(t) и x2(i) и предположим, что x^i) и x2(t) линейные комбинации первых N функций из множества ортонормальных функций
Белый гауссов шум ей спектральной плотностью NJ2 складывается с передаваемым сигналом и принятая функция y(t) имеет компоненты
Уп :
xi,n + zn> n^LN, если послано л:1(^), х2гП + zn< tn?^.N, если послано x2(t), гп, л>Аг,
(8.2.13)
где zn — независимые гауссовские случайные величины со средними, равными нулю и дисперсиями NJ2. Пусть масштаб измерения амплитуды для x(t) и y(t) выбран так, что NJ2 = 1. Тогда, если положить
Xi = (*1,1, *i,w), x2 = (x2il, ...,x2iN) и у = (yL,...,yN),
