Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
і Mr,
BM = -j- с* 2,4-IO19-?- (Гс), (1)
M M
тде M0 — масса Солнца, будет существенно искажать метрику уже вблизи горизонта (в обычных единицах Bm = c4M-iG-3/2).
Симметрия SU(2, 1) уравнений Эйнштейна — Максвелла для
аксиально-симметричных полей
Идея использования симметрий уравнений Эйнштейна — Максвелла для получения новых точных решений на основе известных восходит к Элерсу [57], Харрисону [58] и Эрнсту [59] (см. также [60—62]). Для аксиально-симметричных полей система уравнений Эйнштейна — Максвелла может быть записана в виде двух нелинейных уравнений Эрнста [59] для комплексных потенциалов Ф и E (определения и вывод см. например, в [59, 224])
; /у'VfE = (v'E + 2ф*у'ф) ViE; fy'Vi® (V'E + 2Ф*уг'Ф) V<®.-. (2)
доі __ ц3
В результате параметризации E=--; Ф=—-где иА,
... u1 + u3 U1-IrU3
A=I, 2, 3, — комплекснозначные .функции, система (2) при некотором дополнительном условии приводится к форме [62]
Ub* UbYVCUa-2ив* Y Ub у сиА = Ov (3)' § 2. «ЗАМАГНИЧЕННЫЕ» ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
21
где поднятие и опускание индексов А, В осуществляется с помощью метрики T)4B = diag(l,l, —1). Ясно, что унитарные преобразования в трехмерном комплексном пространстве с этой метрикой оставляют уравнения (3) инвариантными, при этом физически существенные преобразования образуют группу SU(2, 1) (умножение иА на фазовый множитель е'а не изменяет потенциалов Эрнста). В формулах (2), (3) f — коэффициентная функция, а оператор у? осуществляет ковариантное дифференцирование в двумерном пространственном сечении многообразия, метрика которого определяется линейным элементом в форме Папапетру [143]
ds2 = f(d(p — <udt)2 — /-I(e2v(dp2 + rf22)+p2d(p2) (4)
Применяя к комплексным потенциалам Эрнста преобразование из группы SU (2, 1), получим новые потенциалы, генерирующие точное решение системы уравнений Эйнштейна — Максвелла Эрнст [63] обратил внимание, что преобразование такого типа, задаваемое вещественным параметром В
Е' = Л—1E; Ф' = Л-1 ^ф—yBE)' А=1+вф—^-?2E> (5)
(указанное ранее Харрисоном [58]), будучи примененным к метрике плоского пространства-времени, приводит к метрике магнитной вселенной Мелвина [56]. Соответствующее преобразование метрики Шварцшильда дает решение, которое можно интерпретировать как описывающее Вселенную Мелвина, содержащую черную дыру; физические свойства его изучались в [64]. Известно также решение, описывающее заряженную вращающуюся черную дыру для частного значения заряда [65], а также для произвольного заряда, но медленного вращения [66], в общем случае вдали от черной дыры при этом оказывается отличным от нуля не только магнитное, но и электрическое поле.
Шварцшильдова черная дыра в магнитной Вселенной Применяя преобразование (5) к потенциалу Эрнста пространства-времени Шварцшильда E = —r2sin20, приходим к новому решению с интервалом
ds* = Л2 (— dt2---dr*—r2 doA — ^s'"2 6 dcp2; Л —-1 + — Bb2 sin2 6,
\ T2 A J Л2 4
(6)
где A = r(r — 2M), совпадающему со шварцшильдовым при В
0 и с интервалом Мелвина при М-^0. Отсюда естественна интерпретация (6) как решения, описывающего невращающуюся
*> Полная группа симметрии уравнений Эйнштейна—Максвелла для стационарных осесимметричных конфигураций бесконечномерна, и в принципе все решения можно получать некоторым преобразованием из тривиального решения Минковского; о методах построения решений подробнее см. в [313, 314, 224]. "22
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
черную дыру, погруженную в асимптотически однородное магнитное поле. Вектор-потенциал, задающий последнее, имеет вид
А Их»=dtp. (7>
2Л v
Пространство-время не является асимптотически плоским. Характерной особенностью является различие пространственных сечений 0 = Const и ф = const. Длина окружности с центром в сингулярности, лежащей в плоскости <p=const, 2ягА, растет при г-+оо, в то время как длина окружности в плоскости 0 = я/2 есть
2яг^1 +эта величина стремится к нулю при г-*-оо.
Горизонт событий, как видно из (6), по-прежнему лежит при г= = 2M и несингулярен, не изменяется и поверхностная гравитация и (1.26), так как при 0 = 0 метрика совпадает со шварцшильдо-вой, а величина и постоянна на горизонте. Подробнее свойства-горизонта исследовались в i[67]. Приведем отличные от нуля символы Кристоффеля для метрики (6)
го т* ri M . 26 гі M . 26 Г2 1 Г1 1+26.
I0I = -Ioo=-H--; мі=—— н--; ii2=——122=->
Д Д г Д т Д т
гГ?3 ^tgeil3= (1-26); ГІз = ^-Г^з = ^Ц-(2б-1), (8>
где 6=1—А-1 и компоненты тензора электромагнитного поля
F13=-BrA-2Sin2O; ^23 = -Br2A"2 sin 0 cos 0. (9>
Двумерное пространственное сечение гёометрии Шварцшильда <р = = const, ?=const можно представить как некоторую поверхность вращения в трехмерном пространстве, тогда проекции силовых линий на плоскость, ортогональную оси вращения, будут параллельными, в этом смысле можно говорить об однородности поля [68]. В случае В<^Вм существует область ?r-Cl, в которой пространство-время можно считать шварцшильдовым, в этой области А~1 и потенциал (7) совпадает с решением уравнений Максвелла на шварцшильдовом фоне (подробнее см. § 9), описывающим асимптотически однородное магнитное поле. Отличный от нуля инвариант электромагнитного поля
