Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для волн малых частот Mco<Cl решения радиального уравнения можно построить аналитически [95, 96] с помощью склейки приближенных решений, справедливых в окрестности особых точек. В этом случае спиновые сфероидальные гармоники хорошо аппроксимируются спиновыми сферическими гармониками (Д. 16), 98^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
а собственные значения равны Д«(!—s)(/+s+l). В обозначениях (4.84), (4.85) радиальное уравнение (117) при qx<^l + 1 принимает вид
*«(* + + 1)(2%+ 1)A + dx2 dx
+ (Q2 + isQ(2x+l)-sXx(x+l))sR = 0. (127)
Решение этого уравнения, регулярное на горизонте (типа in), выражается через гипергеометрическую функцию
+ =-Г (21 + 2) Г (s 2iQ) (^-YqX
s ш Г (/ + 1 — 2iQ) Г (/ + s + 1) V V U+ll
xF(— /—s, /—s+ 1; 1— s + 2iQ; — x). (128)
В силу свойства (23) радиального оператора вторым решением будет (%(%+ l))rs-sRun- Решение типа «ир» (представляющее собой расходящуюся волну при r-voo) получим, взяв сумму этих двух решений:
sR?m = fitm + И* + 1)Г= = F(l + \—s, 1+1—2iQ; 2/+2; —(I29)
где для перехода ко второй строчке мы воспользовались соотношением, связывающим гипергеометрические функции со взаимно, обратными аргументами. Решения (127) и (129) фактически совпадают со статическими решениями [98—100], зависимость от со имеется лишь через величину Q.
В области x^>|Q|+l радиальное уравнение (117) аппроксимируется следующим:
+ + = (130)
dx2 X dx \ X X2 J
причем Д=(/*+й)(/*—S +1) (с учетом поправок Д.18), где /* не целое. При этом два линейно-независимых решения (130) можно выбрать в виде
,R1 = е-**ix)1'-* Ф (/'—S + 1, 2Г + 2; 2Lqx)
& = Ф(—/* —S, —2l'-,2iqx), (131)
где Ф — вырожденная гипергеометрическая функция. Асимптотическое поведение некоторой линейной комбинации решений (131) при малых x совпадает с асимптотическим поведением решенияі (128) при больших x, что и следовало ожидать, поскольку эти решения получены в перекрывающихся областях. После того как сшивание произведено, можно положить /* = / (предварительна раскрыв неопределенности в отношениях гамма-функций). В ре- § 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
99;
зультате найдем, что решение (128) в области больших х склеивается со следующей комбинацией решений (131):
і
-і
Mm - -J-(-l)'+5+1 sR* + т (-^'s^ljl^ul + s^n (4Q2 + "а)]
п=0
(132)
Далее, воспользовавшись асимптотическим разложением вырожденной гипергеометрической функции при больших значениях аргумента
Ф(а, у; a^-V+!) + .. \
Г (Y — а) \ Z /
+
+ lill^o-vfl +(l-«)(Y-a)+ . \ (133)
Г(а) \ г 1
можно получить функции in и up, нормированные в соответствии ,С (66), (67):
(2НГ (-ly+w-^-ii^L X
X
iL+JlLl2 (2/ +
і
Ту;]2 П (4Q2 + я2) Я+,
п=0
JPр = -ffi, (2;|coJ )V2 [2 (r+_AJ)]-2s {_2iq)-l+s~i
(134)
Одновременно при сшивании определяются значения коэффициентов отражения и прохождения в длинноволновом приближении
°* = (- 1 У+ЧМ*-а*У +q~2s, 1/2 2* (Afa-а2) (2Мг+)1/2 (-2iq)'-*+' х
2 (г+—М)
(Г-s)l (/ + 5)1 Г(/ + 1+2/Q) . аз5)
2Л (2/ + 1)! Г (1 — S + 2i'Q)
Разложение по гармоникам и законы сохранения
Общие формулы для изменения массы и углового момента черной дыры под действием возмущений, а также изменение энергии и углового момента поля за счет излучения на бесконечность были проведены (на примере скалярного поля) в § 4. Для электромагнитного поля в формулы (4.22), (4.23), (4.27) достаточно подста-нить тензор энергии-импульса в форме (5.33) или (5.34). Для гра- 100^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
витационного поля соответствующей величины нет, поэтому приходится прибегать к специальным приемам. Так, учитывая, что волновое поле вблизи горизонта событий испытывает бесконечное голубое смещение, в этой области можно использовать эффектив-"ный тензор энергии-импульса Айзексона [123]
Tliv = 1/32л (ft^/tf?- 2hfhaitl, v)). (136)
Интересно, что подстановка (136) в (4.22) и (4.23) приводит к правильным результатам для всех частот. Альтернативный способ состоит в вычислении скорости изменения площади поверхности горизонта событий в соответствии с (4.24). Для этой величины Хокингом и Хартлем [55] было получено выражение
dA _ 2(2Мг+) dt
ф |о' (137)
где а' — возмущение коэффициента сдвига в базисе (1.62).
С помощью тождеств Риччи, входящих в систему уравнений для гравитационного поля в формализме Ньюмена — Пенроуза,. можно связать а' с -фо':
DV = 2s' + V, (138)
где все величины отнесены к базису (1.62), є' — значение коэффициента є (равного нулю для тетрады Киннерсли) в этом базисе [109]:
е'= J-25 -*-= ^-M (139))
2 0 2 (/-2+0*) 4Мг+
оператор D' с учетом (4.26) на горизонте имеет вид
и=4-+? 4- (140>
Ot <7<р
Для гармоники с определенными {т, со) 2)'-*-—ik, поэтому из (6.9) получим
CT'I ,W = + = + . (141)
+ -ik — 2е' fe_! г
(2 / г2 \ \ 2 г
—-—^—— J \fo, поэтому для возмущения с фиксированными {/те, со} из (137) найдем
йЛ = 1 1
dt 32 (Mr+)2fejfe.
- j) ІАЧоІ ^ (142) § 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
101;
