Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Фо= 1/2 WSin, (35)
Ф2 = P2MS70^iSin, (36)
где Si —некоторая комплекснозначная функция координат. Подставим затем (35), (36) в уравнение Максвелла (17) — (20), полагая правые части равными нулю (/й=0). С помощью преобразований, основанных на использовании коммутаторов (4.39)1—(4.41), 64^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
можно показать, что эта система удовлетворяется тождественно, если наряду с (35) и (36) положить
Фі =^= (®0 -jr X1+ ia Sin Є (Р + P*) р«2'- (37)
и потребовать, чтобы потенциал Дебая Sin удовлетворял уравнению
( AStiSD0 + XtSi--Sin = 0. (38)
С помощью функции Hin можно найти также тетрадные проекции 4-потенциала st». Проектируя соотношение
2^fiy=o€v,ii— o4|i,v = "Ь IFiiv (39)
«а векторы изотропной тетрады, имеем
Фо = ~9'( oim + - XtJLl) , (40)
Фі = ( -iT Лп-+4- 25ibP2 -
4р \ р* 2
(41)
Ф2 = -f-(ASoV1 —/?^,), (42)
4р*
где Лг=Лй/й и т. д. В рассматриваемом случае /й=0 на 4-потен-циал можно наложить калибровочные условия, ограничивающие число отличных от нуля тетрадных проекций. Одной из допустимых является іп-калибровка [98], в которой 4-потенциал является поперечным на горизонте будущего и изотропной бесконечности прошлого
^jn = 0; суС= 0. (43)
Сопоставляя формулы (40) — (42) с (35) — (37), нетрудно установить вид отличных от нуля тетрадных проекций
^S'-, (44)
Y- P
JC=jTSD0Pt Si". (45)
Р*
Аналогичное построение можно осуществить ИСХОДЯ ИЗ COOTHO-.шения (28). Используя коммутационные соотношения (4.39) — (4.41), находим, что (28) обращается в тождество подстановкой S 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
65
Ф0 == — ^o+-Z+Sout1 (46)
4
фа =-ї-Д(2>^)2ДЕ°"'. (47)
8
Далее подставляя (46), (47) в уравнения Максвелла (17) — (20) без источников, получаем, что система тождественно удовлетворяется, если положить
O1=Jy=^-Lxt+ ia sinQ(p + P*) 2tf")p*S°»t (48)
при условии, что потенциал Дебая Sout подчиняется уравнению
(ЗДо+Д + X0Xt + -L -L) Sout = 0. (49)
Для такого выбора потенциала Дебая (фактически две системы величин (35) — (38) и (46) — (49) связаны между собой преобразованием симметрии т"-«->-т*й) естественной является калибровка 4-потенциала [98]
^ut=O; Xut=O. (50)
В этой калибровке Лй является поперечным на горизонте прошлого и изотропной бесконечности будущего. Сопоставление формул (46) — (48) с (35) — (37) с учетом (50) показывает, что отличные от нуля тетрадные проекции 4-потенциала в out-калибровке имеют вид
^at=(51)
-A0J- = — -5- 2)tp* Sout. (52)
2 р*2
Итак, потенциалы Дебая Ein'out позволяют построить решения свободных уравнений Максвелла в двух различных формах с помощью двукратного дифференцирования. При наличии источников в некоторой ограниченной области проведенными выше построениями можно воспользоваться вне этой области, а затем потребовать, чтобы найденные величины Фо, Фь Ф2 были сшиты с решением в области, где /1V=O, которое можно найти, воспользовавшись разделенными уравнениями (21), (23) для Фо и Ф2. Заметим, что потенциалы (44), (45) и (51), (52) порождают самодуальный бивектор согласно (39); максвелловский тензор Fvv определяется вещественной частью s?v. 66^
II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ KEPPA
§ 6. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
Рассмотрим малые возмущения фоновой метрики Керра, которые либо создаются внешними материальными источниками, описываемыми тензором энергии импульса Tliv, либо имеют чисто волновую природу. Полный метрический тензор представим в виде
= + (1)
где ^vk — метрика Керра, а возмущения Zillv малы, т. е. |/ій„|<^1. В формализме Ньюмена — Пенроуза гравитационное поле описывается набором величин, в который входят векторы изотропной тетрады, спиновые коэффициенты и тетрадные проекции тензора Вейля. Возмущение тетрадных векторов /Д пД тможно представить в виде разложения по невозмущенным векторам изотропной тетрады, при этом произвол, обусловленный возможностью малых вращений векторов тетрады (при фиксированном выборе невозмущенной тетрады), можно использовать для наложения требований
^"=/1^ = /^/^=0. (2)
Тогда, записывая возмущения метрики в виде
-yftnv =/(V"v) + /(X)~'n(Vmv) —m(nmv) (3)
и проектируя (3) на различные пары векторов невозмущенной тетрады, найдем [99]
.і 1 , п\ = — HnnIll + AjnZtll,
(4)
mn = IimnIvi + HmItivt— Hmm^rnii —— Hmmitiil,
где Hu=HlivIHv и т. д. — проекции возмущений метрики на векторы невозмущенной тетрады. Дальнейших упрощений можно достичь выбором калибровки гравитационных потенциалов Hliv (т. е. выбором системы координат). При инфинитезимальном преобразовании координат (не затрагивающем фоновой метрики)
+ (5)
величины Zillv преобразуются по закону
ftHV ->- ftIiV + V + W- (6)
В случае вакуумных возмущений (Tvv=O) наложением коорди- § 6. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
67
натных условий можно обратить в нуль скалярные произведения
Ov=AlwW^w=O (7)
(калибровка «падающих волн», или іп-калибровка [98]). В этом случае формулы (4) дополнительно упрощаются и для возмущенных спиновых коэффициентов получаем простые выражения [99]
