Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
отсчета (галилеевы координаты). Положим
х'- х - \af-, у'=у; z' = z (35.42)
и, кроме того,
t'=^t - ~tx. (35.43)
Переменные х, у, z, t можно толковать, как координаты и время в некоторой
ускоренной системе отсчета (в смысле ньютоновой механики и в
соответствующем ей приближении). Подставляя (35.42) и (35.43) в выражение
для ds2, получим
ds2 = (с2 - 2ах - аЧ2) dt2 - dx1 - dyl - dil -f-
/72
+ - {xdt + tdxf. (35.44) Неравенства для коэффициентов будут выполнены
при условиях
1 a4i О- (\ аХХЪ ^ О ,ос л;.
1-------^Г>°; - -ф)--------1г>°• (35.45)
Кроме того, можно потребовать, чтобы было
(35.46)
Эти неравенства показывают, что подстановка (35.42)-(35.43) допустима не
во всем пространстве и лишь для ограниченного промежутка времени.
Другим примером может служить преобразование, аналогичное переходу к
равномерно вращающейся системе отсчета. Положим
х' - х cos wt -f-y sin wt; z' - z,
y' = - x sin wt-\-y cos t' = t.
(35.47)
§ 36] ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ И ОБОБЩЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ 155
Мы получим тогда
ds2 = [с2 - с"'2 (л:2 +У2)] dt2 - 2ш (у dx - х dy) dt -
- dx2 - dyl - dz2. (35.48)
Условие для коэффициентов требует
с2 - ш^ + у2) >0. (35.49)
Оно выполняется на ограниченных расстояниях от оси вращения, где
линейная скорость вращения не превышает скорости света.
Подчеркнем еще раз, что приведенные примеры имеют физический смысл лишь в
той области, где применима ньютонова механика (см. также § 61).
Само собою разумеется, что к числу допустимых преобразований относится
введение обычных криволинейных координат. Поскольку такие преобразования
не содержат времени, они имеют тот же геометрический смысл, как в
нерелятивистской теории, почему мы на них останавливаться не будем.
§ 36. Общий тензорный анализ и обобщенная геометрия
В предыдущем параграфе мы рассматривали выражения
з
а, р = 0 н
3
ds2= 2 dx* dx't'
а, (3 = 0
полученные из обычных выражений теории относительности введением вместо
координат и времени х, у, z, t новых переменных л:,, х2, х3, х0. Мы
установили условия, при выполнении которых переменная л;0 может
характеризовать последовательность событий во времени, а переменные л^,
х2, х.3-положение их в пространстве.
Само по себе введение новых переменных, разумеется, никак не может
повлиять на физические следствия из теории, а является лишь
математическим приемом. Однако разработка аппарата, позволяющего
составлять уравнения математической физики (например, уравнения движения
и уравнения поля) сразу для произвольных независимых переменных, минуя
декартовы координаты и время, не только весьма полезна в вычислительном
отношении (как прием, сокращающий выкладки), но и важна в принципиальном
отношении. Наличие такого аппарата может указать путь к обобщению
физической теории.
Уравнения, справедливые при произвольном выборе независимых переменных,
мы будем называть обще-ковариантными. Самый же аппарат, позволяющий
составлять обше-ковариантные тензорные уравнения, мы будем называть общим
тензорным анализом.
(36.01)
(36.02)
156
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
[гл. III
Обще-ковариантные уравнения применяются уже в ньютоновой механике. Мы
имеем в виду уравнения Лагранжа второго рода, описывающие движение
системы материальных точек в обобщенных координатах, а также их обобщения
для сплошной среды. Не давая ничего физически нового по сравнению с
уравнениями в декартовых координатах, уравнения Лагранжа играют, тем не
менее, важную роль как в практических применениях, так и в теоретических
исследованиях. В теории относительности общий тензорный анализ преследует
аналогичную цель.
В общем тензорном анализе исходными являются выражения (36.01) и (36.02)
для квадрата четырехмерного градиента и для квадрата интервала. Эти
выражения характеризуют, как говорят, мероопределение или метрику
пространства-времени. Коэффициенты и gар в них рассматриваются, как
функции от переменных *0, xv ¦^2"
Если, как мы это до сих пор предполагали, выражения (36.01) и (36.02)
получены из (35.01) и (35.02) [или из (35.08) и (35.09)] введением новых
переменных, то коэффициенты g''V и gар в них представимы в виде (35.13) и
(35.15). Другими словами, в этом случае десять коэффициентов gaр
выражаются через четыре функции /0, Л, /2, /3 по формуле
<36 03>
к-0 р
Через те же четыре функции выражаются, вследствие соотношений (35.16), и
коэффициенты g*V.
Существенно, однако, отметить, что формулы общего тензорного анализа
почти не усложняются и в том случае, когда предположение о представимости
ga$ в виде (36.03) не делается, а эти величины рассматриваются, как
заданные функции от координат (т. е. от переменных *0, xv х2, xs). Этой
более общей точке зрения соответствует введение для пространства и
времени неевклидовой геометрии и неевклидовой метрики. Такой шаг означает
уже выход за пределы обычной (так называемой "частной") теории
относительности н связан с построением новой физической теории - теории
тяготения Эйнштейна. Этой теории будут посвящены следующие главы этой
