Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
минус выражение (30.08), т. е. работа сил упругости в единице объема за
единицу времени.
§ 311
ТЕНЗОР МЛССЫ
127
нения потока энергии можно взять их линейную комбинацию, рассмотрев
величину P + A.S и ее поток IS,-, где к есть постоянная,
имеющая размерность, обратную квадрату скорости. В следующем параграфе мы
увидим, что релятивистской форме уравнений движения сплошной среды
приближенно соответствует линейная комбинация указанного вида со
значением постоянной л, равным к = ~.
В заключение обратим внимание на следующее обстоятельство. Если задана
некоторая величина (например 5), то ее .поток (вектор S) определяется из
соответствующего закона сохранения по заданной его расходимости. Но без
наложения дополнительных условий такое определение неоднозначно. В самом
деле, если уравнению вида (30.16) удовлетворяет вектор S (с составляющими
S;), то ему же удовлетворяет вектор S -|- curl А, где А - произвольный
вектор. Тем не менее, поток сквозь замкнутую поверхность определяется
вполне однозначно, так как для замкнутой поверхности
каков бы ни был вектор А.
По своему физическому смыслу вектор потока является, однако, вполне
определенной величиной. Поэтому следует ожидать, что путем наложения
дополнительных условий можно и формально сделать определение его
однозначным. Одним из таких условий является требование, чтобы вектор
потока величины S, которая является функцией состояния системы, сам
являлся функцией состояния. Это требование будет точнее формулировано и
подробно обсуждено в следующем параграфе. Ему удовлетворяет в
рассмотренных здесь примерах поток энергии (вектор Умова), поток массы и
поток количества движения.
В предыдущем параграфе мы видели, что в случае консервативной системы
обычные нерелятивистские уравнения движения сплошной среды могут быть
написаны в виде равенства нулю четырех выражений, которые представляют
сумму производных по координатам и по времени. Такая форма уравнений
движения заставляет думать, что их релятивистским обобщением должны быть
уравнения вида
(30.20)
§ 31. Тензор массы
з
дТ°° | у дТ"ь
дх0 1 дх/с
(31.01)
где Tll!(l, k - 0, 1, 2, 3) есть некоторый тензор.
128
теория относительности п тензорной формр
(ГЛ. II
Первое из этих уравнений должно выражать закон сохранения массы и
энергии, а остальные три (для /= 1, 2, 3) - закон сохранения количества
движения. Если Г00 есть плотность всей массы (включая массу покоя и массу
кинетической энергии), то cT0i есть плотность потока массы. Далее, если
cTi0 есть плотность /-той составляющей количества движения, то c2Tik(k=
1, 2, 3) представляет плотность потока для этой составляющей. Масса М,
заключенная в некотором объеме, и соответствующая ей энергия W выразятся
через Т00 в виде интеграла по объему:
M=~=frmdV. (31.02)
Аналогично, количество движения, заключенное в том же объеме, будет равно
Pi = с j TiodV. (31.03)
Уравнения (31.01) выражают тот факт, что увеличение энергии или
количества движения, заключенных внутри некоторого объема, происходит
только за счет притока этих величин извне (т. е. сквозь поверхность,
ограничивающую этот объем). Интегралы (31.02) и (31.03), распространенные
по всему объему, представляют полную массу и полное количество движения
системы. Эти величины остаются постоянными (не зависят от времени t).
Кроме законов сохранения массы, энергии и количества движения, должны
иметь место законы сохранения момента количества движения, а также законы
движения центра инерции системы. Их можно написать в форме, аналогичной
(31.01). Из уравнений (31.01) вытекают соотношения
JL {Х(ум _ XuTi0) + 2 (Х*ТкМ - ХкТШ) = ТМ - Tili
m-1
(г, k = 0, 1,2,3)
. (31.04)
Эти соотношения будут иметь форму законов сохранения, если правая часть
их обратится в нуль. Мы получаем условие
Т1к=Тк\ (31.05)
Согласно которому тензор Tik должен быть симметричным. Это условие
означает, в частности, что поток массы равен количеству движения не
только для уравнений механики, но и в самом общем случае. Соотношения
(31.04) для симметричного тензора мы выпишем отдельно для к=\, 2, 3 и для
к = 0.
§ 311
ТЕНЗОР МАССЫ
129
Мы имеем
JL (*.7*0 _ хкГ'0) + V (л:,7*" - а-,7'"'0 = 0, (31.06)
"* = 1
3
где /, k- 1, 2, 3. Формулы (31.06) можно рассматривать, как законы
сохранения момента количества движения, а формулы (31.07) - как законы
движения центра инерции системы (те и другие выражены в дифференциальной
форме). Если проинтегрировать эти выражения по некоторому объему,
получатся соответствующие интегральные соотношения.
Если интегралы
распространить по всему объему, то они будут оставаться постоянными. При
этом Ж23, Ж61, Ж12 будут составляющими момента количества движения
системы, а деленные на с величины Ж10, Ж20, Ж80 можно толковать, как
произведение массы системы на начальные координаты ее центра инерции.
Рассмотренный здесь тензор Tik мы будем называть тензором массы *).
Инвариант тензора Tik имеет размерность плотности массы. Умноженный на с2
