Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
производных от функций /j, т. е. к линейности этих функций. Величина к
будет вследствие (А.05) и (А.07) постоянной (масштабный множитель). Как
показано в § 9, масштабный множитель к можно положить равным единице,
после чего соотношения (А.06) приводят, в силу линейности функций fit к
преобразованию Лоренца.
Мы должны теперь исследовать, что вытекает из условия (а) в отдельности и
из условия (б) или (б') в отдельности.
Как уравнения (А.03), так и уравнения (А.04) могут быть написаны в виде
где в случае (А .03) и в случае (А.04)
г!ж=?г"з|- <А-08>
Г= 0
Ги = tykKi (А.09)
Ги - 'f А/с Ч~ Т/А/ - егекЧг\г- (А. 10)
[В § 8 величины (А.09) обозначались символом Аы-\
Уравнения вида (А.08) подробно исследованы в § 42, где дано необходимое и
достаточное условие их полной интегрируемости. Это условие имеет вид:
з
дхп дхг
г= о
? OVm - rLO = 0. (А. 11)
Оно выводится из требования, чтобы получаемые путем дифференцирования
(А.08) различные выражения для третьих производных от fi были друг другу
равны.
Подставляя в (А. 11) выражение (А.09), получаем:
(д$п Ш)Ьтк+(Й" ?Jml ~(Sj - ^1) 8"" = °- (А•12)
Полагая здесь k ф т\ 1Ф т, но п - т, получаем
gf->A = 0. <А.13)
К ВЫВОДУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 477
Так как б (А. 12) значок т может иметь любое значение, то огра-
ничение k Ф т, 1фт несущественно, и равенство (А.13) должно иметь место
при всех значениях k и /. Очевидно, что это равенство является также и
достаточным для выполнения (А. 12). В самом деле, из него следует
(А 141
дхг-дХк' (АЛ4)
и первый член в (А. 12) также обращается в нуль.
Подставим теперь в (А. 11) выражение (А. 10). Вследствие
(А.05)
мы можем положить
= = эй = *"• (АЛ5)
Вычисляя левую часть (А. 11), мы получим, после умножения на ет
(Ткп TfcTn) (ТЫ Т7c*?l) ^rrfinm I-
+ (Ьт - 'fi'f J еАп - (?"" - ?т?п) eh\l +
3
+ екет (S/?nS?m - Ьк1Ьпт) 2 егЪ = 0- (А. 16)
г= о
Положив
з
= 'f/.-г Т/сТг + ~2 еАг 2 erfr. (А-17)
г=о
мы можем равенство (А. 16) написать в виде
^knPnfilm 1 ~~ 0 • (A .18)
Отсюда нетрудно вывести, что должно быть
Фм = 0. (А. 19)
В самом деле, умножая левую часть (А. 18) на - ет, полагая т = п и
суммируя по т, получаем:
з
eAl 2 ет^тт - 0- (А.20)
т - 0
Умножая левую часть (А.20) на ек, полагая k = I и суммируя по k,
получаем, по сокращении на числовой множитель 6:
3
5>гаФтот = 0. (А.21)
ТО=0
Таким образом, условием интегрируемости уравнений (А.03) являются
равенства (А. 13), а условием интегрируемости уравнений (А.04) являются
равенства (А.19). Вследствие (А.14) и (А.15) мы можем положить
478
ДОБАВЛЕНИЕ А
где <|) и <р- некоторые неизвестные функции [вследствие (А.05) мы
можем считать, что <р = lg ]/"А ], Условия интегрируемости напишутся
тогда
"ЭЗф йф *ф = 0( (А 23)
дхк дх, дхк дхг
з
дЦ d'f d<f
дхкдхг дхкдхг Полагая здесь
г -О
а также
e~^ = w\ ф = - lg w, (А.25)
e~f = и; <р = - lg и, (А.26)
получим для новых неизвестных функций уравнения
d2w
дхк дхг
з
д2и
0, (А.27)
дхк дхх
г = 0
Уравнение (А.27) показывает, что w есть линейная функция от ко* ординат
w= w(Q)-\-w0x0-Jrw1x1-\-w2x.2^-wax.i (А. 29)
и что, следовательно,
**=-?¦ (А-3°)
где wk - постоянные. Подставляя эти значения fyk в уравнение (А.03) для
fit можем написать это уравнение, в виде
ЩйН- <А-31>
откуда следует, что величины wfi являются линейными функциями. Это
значит, что четыре функции /0, fv /2, /3 являются дробно-линейными
функциями с одним и тем же знаменателем w.
Мы приходим к следующему выводу. Самый общий вид преобразования (А.01),
удовлетворяющего условию (а), есть преобразование при помощи дробно-
линейных функций с одним и тем же знаменателем. В том частном случае,
когда знаменатель приводится к постоянной, дробные функции приводятся к
целым.
Обратимся теперь к исследованию уравнения (А.28), вытекающего из условия
(б) или (б'). Прежде всего заметим, что при k ф I правая
часть его обращается в нуль. Следовательно, вторые производные
от и по разным переменным равны нулю, и функция и составлена аддитивно из
функций от одной переменной. С другой стороны, из
К ВЫВОДУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 479
(А.28) следует, что вторые производные от и, взятые по одной и той же
переменной, с точностью до знака друг другу равны, а именно:
д2и д2и д2и д2и .. _
в° 1? = 61 д? = д? = вв д?'• (А,32)
l/Л Q l/Л j 1/Л9 иЛд
Но каждая из величин (А.32) может зависеть, самое большее, от одной
(своей) переменной. Следовательно, все они равны одной и той же
постоянной. Обозначая эту постоянную через 2С, будем иметь
Л2// (f^tL
~ = 2 Сек\ -^- = 0 (кф1) (А.33)
дх$ к дхкдхг
и, кроме того,
<А34)
у=О
Из равенств (А.33) следует, что функция и будет вида
зв
U = С 2 в%Х%- 2 2 ^какхк~\~ ^ ^ ^
fc=0 & = 0
где а* и В - постоянные. Формула же (А.34) дает лишь соотношение между
постоянными, а именно:
ВС = 2вга". <А-36)
г=о
Согласно (А.05) и (А.26), множитель \ в соотношениях (А.06) обратно
пропорционален и2. Мы можем положить
= <А-37>
i
Без нарушения общности мы можем считать, что в начале координат,
