Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
451
Напишем полученное решение в явной форме. Мы имеем
ds2 = ^1 - (dx'l - dx\ - dx\ - dx:), (94.26)
где
S = V 4 - x\ - - 4- (94.02)
Интересно отметить, что это выражение допускает не только группу
однородных преобразований Лоренца, но и преобразование инверсии
= (94-27)
Последнее не имеет, впрочем, прямого физического значения, так как
переводит область S>4 в область S' <С А, а физическое значение имеет
только случай S>H. Нетрудно указать также формулы, связывающие координаты
х с гармоническими координатами х^, а именно:
xv- - (* "Ь з" s"~l_sa)A:P' (94.28)
Гармонические координаты xjt не меняются при преобразовании инверсии
(94.27). В задаче об изолированной системе масс привилегированное
положение гармонических координат опиралось на рассмотренные в § 93
предельные условия, в том числе на условие евкли-довости на
бесконечности. В пространстве Фридмана-Лобачевского условия, однако,
совсем иные, вследствие чего здесь более соответствуют характеру задачи
не гармонические, а "конформно-галилеевы* координаты, в которых ds2 имеет
вид (94.26).
Рассмотрим движение вещества, соответствующее полученному решению. В
уравнении неразрывности
?D?EIp>L = o (94.29)
ОХ^
мы должны положить
= (94.30)
откуда видно, что оно выполняется в силу тождества
35~(s?) = 0- С94'31)
Поле скоростей характеризуется величинами (94.25). Мы имеем
(94.32)
dx0 и° х0 Положив для наглядности х0 = ct, можем написать
dXf Xf
29*
dt~t> (94-33)
452 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ "ОПРОСЫ [ГЛ.
VII
откуда для каждой массы
= Vjt,
(94.34)
где Vi-постоянная. Вследствие того, что S2 > 0, мы должны иметь
Во вспомогательном галилеевом пространстве каждая масса движется с
постоянной скоростью, пропорциональной ее координате, и, следовательно,
все расстояния возрастают там пропорционально времени. Это относится,
собственно, к вспомогательному галилееву пространству, но качественно
заключение о возрастании взаимных расстояний со временем остается в силе
и для физического пространства. Такое расширяющееся пространство и
составляет тот фон, который становится здесь на место евклидова фона.
Наблюдаемые физические следствия из этого заключения, которое на первый
взгляд кажется парадоксальным, будут рассмотрены в следующем параграфе.
Введенные формулой (94.34) величины можно рассматривать как координаты
данной массы, взятые в масштабе, растущем пропорционально "времени" t. В
этом масштабе, координаты каждой массы будут постоянными. Поэтому, с
точки зрения уравнений движения сплошной среды, величины будут своего
рода координатами Лагранжа (в отличие от координат Эйлера х*). Введем в
выражение для ds9 в качестве пространственных переменных три величины vit
а в качестве временной переменной - величину т, пропорциональную S и
равную
Очевидно, что соотношение (94.36) выполняется тождественно. Мы будем
иметь
(94.35)
(94.36)
Наша подстановка будет иметь вид
('94.37)
dx.
dt
откуда
с2 dt2 - (dxj -j- dx'1, + dx-J = с2 d<' - т2 rfa2, (94.40)
§ 94]
ПРОСТРАНСТВО ФРИДМАНА - ЛОБАЧЕВСКОГО
453
где
1
(rfv)2 - - [vXrfv]2
d^ = 7~Чжх2 (94.41;
('-I?
уже известный нам из § 17 квадрат элемента дуги в пространстве скоростей
Лобачевского - Эйнштейна. Вместо (94.36) мы можем также написать
(S" + Й*) dv'dv*• <94Л2)
do2
t___
"а
Если мы введем вместо А постоянную а, так что
S = cx; А = са, (94.43)
мы получим для ds2 выражение
ds'2 = (l - ~У (с2 dl2 - X2 do2). (94.44)
Величина -с может быть названа собственным временем во вспомога-
тельном галилеевом пространстве. Физическим же собственным временем
является величина Т, определяемая равенством
Т= 1
= (94.45)
a
Время отсчитывается здесь условно от той весьма удаленной эпохи
(несколько миллиардов лет тому назад), когда наблюдаемые ныне галактики
находились гораздо ближе друг к другу, чем сейчас. К еще более ранней
эпохе применять написанные здесь уравнения не имеет смысла, так как в них
пренебрегается прямым гравитационным взаимодействием галактик, которое
тогда могло быть значительным.
Пространственная часть ds2, соответствующая фиксированному значению
мирового времени Т (а значит и фиксированному т), равна
2 = -c2(l - ~Jdo2. (94.46)
Это есть пространство Лобачевского постоянной отрицательной кривизны.
Объем его бесконечен.
Рассмотрим массу галактик, скорости которых во вспомогательном галилеевом
пространстве лежат в данных пределах. Если р* есть инвариантная
плотность, то эта масса равна
dM = fdV. (94.47)
df
где dK- элемент объема в пространстве Лобачевского с мероопределением
(94.46). Как нетрудно вычислить из (94.42), в пространстве
454 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ [ГЛ. VII
скоростей элемент объема равен
(¦-у)
Следовательно, элемент объема в пространстве Лобачевского равен
dV = t*(\dV, (94.49)
и масса dM равна
<Ш = р*т8(1 - (94.50)
Формула (94.23) для инвариантной плотности может быть написана в виде
<94-51>
откуда, учитывая (94.43), получаем:
pV(l~= (94.52)
Подставляя это выражение в (94.50), будем иметь
