Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь в (84.15) и (84.17) члены, убывающие как 1/г'2. Среди
них есть члены, не зависящие ни от х', ни от х". Эти члены дают в Vik
вклад
(84.23)
где М есть полная масса системы.
Остальные члены порядка 1 /г2 имеют дипольный характер. Они равны
,Д1) _ fXJ Г x'; + xj(x'i-Я гОАОА^
Vik -- I р \АХ ) р (dx ) " 2 | г7_г"!3 * (о4.24)
Но мы имеем тождество
[xjxj (xj. - xj) + xj.xj (х\ - X?) - x'.xj (X. - х")} 4
4 [xjxj (xj - xj.) 4 xjxj (xj - А-;.) - xjxj (Xj - 4)] =
= (4 + xj) (xj - xj) (xj - xj), (84.25)
в котором выражения в двух квадратных скобках в левой части получаются
друг из друга перестановкой х' и х". При интегрировании в (84.24) мы
можем поэтому взять вместо множителя (84.25) одну из квадратных скобок,
умноженную на 2. Выполняя затем
5* 84] ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ 399
интегрирование по той переменной, которая входит в квадратную скобку
линейно, получим
Vfk = р | (ху ~ + Xjx1; ~ - х{хк Щ-} р (dxf. (84.26)
Объединим теперь в Uл и Vik члены одинаковой полярности. Пола-
[ ая
S]k=u°tk+v\k (84.27)
и складывая (84.06) и (84.21), получим
s°ik = 2F I ( 2f'vivk - 2 pik + P (xi ^~fxk (dxf. (84.28) Представив
член, содержащий pik, в виде
- 2 j* pik(dxf= J xkd~j(dxf (84.29)
и воспользовавшись уравнениями движения внутренней задачи
dU др.,
= + (84-3°)
получим из (84.28)
S°ik ~ J Р (х,Щ -f xkwi-f2vivk) (dxf (84.31)
ИЛИ
= JW* (<**>"• (84.32)
'Таким образом, после всех преобразований величина 5?* выразилась через
вторую производную по времени от соответствующего момента инерции.
Преобразуем теперь величину
S$ = ?/$ + v8!. (84.33)
Из (84.07) и (84/26) получаем
*8 г А: - 2/-3 ^ | tyVjVfcXj 2 PifcXj-\-
+ Р (xix* Тх-к + xix* Щ-, ~ хщ) 1 ^*)3 • (84 •34;
Используя тождество
kPis
~"f" XjXj j- XjXfc " (84.35)
dpks , dp fa dpja
400 привлижгнные решения и принципиальные вопросы [гл. vii
представим интеграл, содержащий pik, в виде
Пользуясь уравнениями движения (84.30), можем тогда написать
получаем Sih, а подставляя это значение Sik в формулу (84.01), получим
следующее окончательное выражение для д'М
Мы получили явные выражения для пространственных компонент потенциалов
тяготения, справедливые на больших (в указанном выше смысле) расстояниях
от системы тел. Здесь среди членов, содержащих ся в знаменателе,
отброшены те, которые убывают быстрее,
Заметим, что в случае одной сосредоточенной массы выражение (84.40)
приводится к тому, которое соответствует строгому решению уравнений
тяготения [формула (58.12)].
§ 85. Потенциалы тяготения на больших расстояниях от системы тел
(смешанные и временная компоненты)
Для определения смешанных компонент на больших расстояниях мы вернемся к
уравнениям, приведенным в начале § 83. Мы имеем
^+41;)70* = Г.г",{1 (85.03)
или
Отсюда по формуле
-¦ S\k Ч- -f- Vik
(84.39)
.L
¦ dt
где
(85.02)
и, согласно (66.07),
§ 85] ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ 401
Мы попрежнему полагаем
0ог = ^ + 5 (85.04)
и подчиняем Ui и Si уравнениям
Wi ~ Уж = ~^+Ш) TSi' <85-05) А5~ = (85-06) Вводя, согласно (75.18),
величину
№ = f Р'| г - r'\(dxf, (85.07)
а также
\\7. - _
2
Wi = 4-Т f (p(r)i)' I г - г' f (dx'f, (85.08)
мы можем написать
r0i \г
и. = 1 f {-(д,| t-,TY w+i т?- о(r)-09"
Последний член представляет поправку на запаздывание. Разлагая
здесь интеграл в ряд по мультиполям и ограничиваясь первыми
двумя членами и приближенным значением третьего члена, получим:
Ui = 7 [ (с* + 4U) 7(tm) (dxf + J (<И + 47/) Г*х} (dxf +
+ -Щд7кТг J (85.10)
В этом выражении можно выделить члены, содержащие количество движения и
момент количества движения системы. Эти константы движения выражаются по
формулам (79.19) и (79.34) через функцию О:, связанную согласно
определению (79.18), с величиной
(85.03) соотношением
(Л + 4Щ Т" = О, + A (iU. + ffr) • (85.11)
к именно, мы имеем
/\=[Gi(dxf, (85.12)
Mik - J (xfik - xkai) (dx'f. (85.13)
Соответствующее преобразование мы произведем уже после вычисления
величины так как в этой величине ряд членов объеди-
няется с членами из U
26 Зак. 4S5. 3, Л. Фок
402 приближенные решения и принципиальные вопросы [гл. vh
В уравнении (85.06) для S; мы пренебрегаем, как и раньше второй
производной по времени и пишем его в виде
Д Si = Qi. (85.14)
Величину Qj можно, подобно (84.09), представить в виде двукратного
объемного интеграла
Qi = f f f (dx'f (dx"f №k)'[" {- ^ (-¦ г - + ) 4-
J * 2 \dxi dxk dxk dxi /
i лл & 7 ( д* da \ I 1
I , ' , n ( , > t) . - , rrf | j J ' ~ ; (85.15)
axadxa 2 \dxi дхк 0xk дх{/ 1 |r - r'| • jr-r"i
откуда сразу получается решение уравнения (85.14) в виде
*=<• JI "•* **** I -- {Ш+?&)+
Мы должны сюда подставить выражения (84.15) и (84.16) и произвести
интегрирование по х' и по х".
Выделим сперва член, убывающий как у. Его можно написан,
в виде
5? = 7 { - 4 J pUt (dxf + J r,vh 00s} • (85.17)
С другой стороны, дифференцируя по времени очевидное равенство
J
,(tm)L(dxy> = 0, (85.18;
будем иметь
вследствие чего можем также написать
