Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
потенциал (7*, а лишь та его часть, которая происходит от внешних масс.
Эта часть равна
7/*;а' = (У(а) + -14^- + (7Г0>б, (77.18)
23 Зак. 185. В. А. Фок
354 закон тяготения и законы движения [гл. vi
где величины U(a\г) и 1Т<а)(г) были определены раньше (§ 75), а добавка
t/д% равна
U
(°' S ("2" МЬ1ИЬ)(b)-j-j +
ь
+ ^ S'(3+ 5b.)• (77-1
ь 1
Найденные значения потенциалов необходимо теперь подставить в выражение
(77.01) для силы. Мы получим:
Гди%
fdt/<°> чч , Сди?>" N4 , Г^(а), w, -Ч ,
J • (dX) + J " ' (dX) Ь J ~д*7 (3 " ¦ ¦} (с1х) '
i) (Н) кн
1 Г д*W{a\, 1 d Г даг'"' , ,s
f- J p дхг dt2 " C2 dt J p dx.
c-
\a) (t7)
4 г <>(fp - 72 wk-?.(dxf. (77.20)
(O) 1
Здесь первый интеграл есть ньютоново выражение для силы; он уже вычислен
нами в § 71. Мы имеем, согласно (71.33),
Г dll1-01
\V-S^idxf=-Wr (77.21)
(Я)
где Ф есть ньютонова потенциальная энергия системы тел [формула
(71.32)]. Второй интеграл, с требуемой точностью, будет равен
ГЗ&,
(а)
где под L/да'и можно разуметь выражение (77.19). Третий интеграл может
быть вычислен при помощи формул (77.08) - (77.14). Мы получим:
[ dU{a), w. 1 /dl/ah /3 \ i
.! ~ш;{1 ~';)(dx)'J-тА~^т)а\ТЖ"Й'С+Г") 1
(iа)
+7&-Х(*ww+w-i*. (um жЬ (77-23)
где в качестве t/(a> достаточно взять выражение (76.21).
Составим сумму выражений (77.22) и (77.23) и представим ее в виде
производной по at. В формулу (77.23) мы можем подставить xt - я, до
дифференцирования. В формуле же (77.22) мы должны
§ 77] ВЫЧИСЛЕНИЕ силы 355
учесть, что один из членов в f/'6)(b) сам зависит от а,, а именно
= (77.24)
гае многоточием обозначены члены, не содержащие а,. Вследствие
(77.24) мы имеем
U^(b)~ г !-h - р- {(/<Ы(Ь) • ^-тгт - 4 г-^тгьг • (77.25)
4 ' да, ! а - Ь| да, { v ' ] а - b | 2 1 а - b 31 '
Используя это соотношение, мы получим
)*?(,-,) (,**)" = + ,77.26)
{й) ("I
где мы положили
^ =iSl37^o7W6(aft + ^)+2T(^0 + $0Aib)l (77.27)
а, Ь
Iа ф Ь)
l2 = S [ЗтЧ^А-
а, ?>
(О -7 Ь)
+ Т- /И,^.)] • (77.28)
а функция 'Р равна
1 уд / fh\ 1 1
W = - V тМ М, и[ ](Ь)________________________________________________-Р
с3 jU V а ь ^ На -Ы 2 (
а - b !3)
ь
+ Д-2Ма№)(аИ+..., (77.29)
где многоточием обозначены члены, не зависящие от а,. Эти члены мы
подберем так, чтобы функция *Р была симметрична относительно всех масс и
соответствующих радиусов-векторов. Положим
W(а, Ь) = шМаМь(Ма + Мь)' (77.30)
2е" I а - Ь|"
Ф(а, Ь, с) = ?-МаМьМв (. сл -г
v ' ^ а 0 0 \! а - b Ма --cl
) (77.31)
П b - с |! Ь - а | 1 I с - а 11 с - Ь]
(где с0 есть временное обозначение для скорости света, которое мы ввели
во избежание смешения с индексом при массе Мс). Тогда
356 3\К0Н ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ [гл. V!
нетрудно видеть, что в функции
фГ==т2!Г(а' b)+i 2 ь> с)- (77-32)
а, b а, Ь, с,
(афЬ) (афЬ, Ьфс, сфа)
члены, зависящие от at, будут те же, что в (77.29). Таким образом, и
формуле (77.26) для суммы двух интегралов можно понимать под Ф' выражение
(77.32). Члены 'У(а, Ь, с) дают своеобразное "тройное взаимодействие11
масс.
Рассмотрим теперь в выражении (77.20) те интегралы, которые содержат
функцию W{a). Мы имеем, очевидно,
1 f d9W{a).,.0 1 d Г
г-г J Р дх{ dt* ( У сa dt J р dx{ dt ' Х^' "
(а) (а)
1 1 f d*W!a> ^ ч,
= ~ J Ш-дТГЖ^ ^ J • i дх?'Шд}'( ^ ^/7'33)
(а) (а)
Последнее выражение вычисляется при помощи формулы (76.34) для
производной от Мы получим
1 f d%W^a) .. дЦ . 6L,
сa J дх,-дГ ^ ^ ~ да? + да? ' ^ ^
(Я)
где
= |77-35>
a, b J
а фЬ
и
Г, = да S Г • <77 Л6)
а, 6
(а 9^- 6)
Нам остается рассмотреть последний интеграл в (77.20). Вычисление его
никаких трудностей не представляет, и мы получаем
_4_f д(/ка> dLK . dU
с*
(а)
, _ 2 V -:АУЛ4ь(йкМ ,"00,
"|а-Ь|~' (?7-38)
а. &
(афЪ)
te = | S т (Мьф1$ПТ - Ма^в)ЗД") . (77.39)
а, й
(а ф 6)
f dt/,a) dL. dL,
J"BrW = E + S:' <773b
где
§ 77] вычисление силы 357
Собирая все интегралы вместе, получаем следующее выражение для силы:
F<" - ~^""^ + ^(Ii + Z'3+Z-6) + 5~(z-2 + T.1-(-Z.6). (77.40)
Сравним это выражение для силы с полученным ранее выражением (76.41) для
количества движения. Положим
- 2с3 " (77.41)
а, Ь (афЬ)
Ф* = " i 2 Т ~ • ^77'42>
а, 6
(а 9*- 6)
Эти величины входят (со знаком минус) в состав выражений (77.27) и
(77.28) для Lt и 1.2.
Нетрудно проверить, что мы имеем
^ + Т-з + 15 = К1 - Ф1 (77.43)
и аналогично
7-2 Ч~ 7-4 + T-е = К2- Ф2, (77.44)
где и К., имеют значения (76.30) и (76.31). Поэтому
77а* = ^(^1+К8-Ф-Ф1-Фа-Ч0. (77.45)
С другой стороны, согласно (76.41),
P,ii = ^7 (7( ~Ь Tvt-j-Ка), (77.46)
где К есть выражение (76.15).
В этих формулах величина К не зависит от координат ait величины
же Ф, Фх, Ф2, Ф' не зависят от скоростей а,. Положив
L^K+Kx-\-K2 - Ф - Фг - Фа -Ф, (77.47)
мы можем поэтому написать
7^ = #-; (77.48)
oai да:
и уравнения движения
<~Ы~ ~ Fm (77.49)
принимают лаграижеву форму
d dL dL
358
ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
§ 78. Уравнения поступательного движения в лагранжевой форме
В предыдущих параграфах были выведены уравнения движения центров тяжести
