Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
гармоничности (70.03).
Мы установили, что при нахождении закона движения тел как целых основное
требование заключается в том, чтобы на больших оасстояниях от каждого
тела правильно получалась метрика. Это требование означает, в частности,
что на больших расстояниях or каждого тела с возможно большей точностью
должно выполняться условие гармоничности (70.03). Посмотрим, какие
следствия вытекают отсюда для правой части уравнений (70.02).
Эти уравнения имеют вид обычных уравнений для запаздывающих потенциалов
причем, однако, необходимо помнить, что при самом выводе их были сделаны
пренебрежения, равносильные разложению встречающихся функций по обратным
степеням скорости света с. Поэтому и решат!) уравнения (70.04) в нашем
случае имеет смысл только приближенно.
Мы начнем, однако, с рассмотрения точного решения. Предположим, что
стоящая в правой части функция а (которую мы будем называть плотностью)
отлична от нуля только в ограниченной области пространства, в
окрестностях точки с координатами
(это есть область, занятая одной из масс). Нас интересует то решение
уравнения, которое физически соответствует потенциалу, порождаемому
движущейся массой с плотностью а (запаздывающий потенциал). Это решение
имеет вид
где [а] есть запаздывающее значение плотности з, а именно:
Интегрирование ведется по координатам (х', у', z') и распространяется на
область, занятую массой.
Переходим теперь к приближенным формулам. Разлагая величину [а] по
обратным степеням скорости света с и ограничиваясь первыми членами,
получим
(70.04)
xi = ai(t) (г = 1, 2, 3)
(70.05)
(70.06)
[з] = з(Л г'); t' = t - - | г - г'|.
(70.07)
Где уже
о -
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ ГАРМОНИЧНОСТИ
319
Написанное выражение мы можем, далее, разложить по обратным степеням
расстояния от данной массы.
Используя разложения
Величины р. и Hi можно назвать "моментами" нулевого и первого порядка.
Нетрудно видеть, что если положить и. -- 0, то члены, не содержащие с,
будут при удалении от данной массы убывать по крайней мере как 1 /[ г -
а|2, член, обратно пропорциональный с, обратится в нуль, а члены,
пропорциональные 1/с2, будут оставаться ограниченными. Если же, кроме
того, потребовать, чтобы обращались в нуль моменты первого порядка, т. е.
чтобы было и.4 = 0, то в разложении (70.12) для б исчезнут и следующие по
важности члены. При равенстве нулю также и моментов второго порядка
исчезли бы и дальнейшие члены и т. д. Не все эти условия являются, вообще
говоря, независимыми. В общей сложности мы можем поставить столько
независимых условии, сколько в нашем распоряжении имеется параметров.
Предположим теперь, что имеется несколько масс, так что плотность а
отлична от нуля в окрестностях нескольких точек, скажем
Тогда те же рассуждения будут относиться к каждой из точек. Обозначая
через
| г - т' | | г - а | г I г - а |3
1__________ 1 , (¦*{ - ^ (x'i ~ад .
г? I I г - all If*__а 18
(70.10)
и полагая
/ з0, г')dV' = v.,
J r')(*l-- =r- U.J,
(70.11)
мы получим
fj-i (xt - a{)
1 ф .
с dt 'i
IV (Xi-jk)
I г - a
j. (70.12)
(70.13)
Xi - (t), xi - (t'), . . .
(70.14)
(70.15)
320
ЗЛКОН ТЯГОТЕНИЯ И ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
[гл. VI
и через
^а)= Г а<?> г)(Х; - cii)dV-, [jAb>= Г а (i, г) (xt - bi) dV, (70.16)
(а) (Ь)
интегралы (70.11), распространенные на области, занятые каждой из масс,
мы получим для 6 выражение
у fx(a) , у (х! - ад
-а| ' 2j | г - а |3
а а
1 d V* (а) 1 1 rf2 V I fa) I _ I *4"' (¦*< - al) .
I ,
-7 л2/'+2^1 (^'К-а! [тзгтг+ •••/•(70Л7)
a a
Для того чтобы функция 6 была мала в любой точке между массами, а также
при удалении от всех масс, мы можем теперь потребовать выполнения ряда
уравнений
u.(a) = 0, {Да> = 0, ..., (70.18)
из которых каждое относится к отдельной массе.
После этих общих рассуждений вернемся к рассмотрению уравнений (70.02).
Мы постараемся удовлетворить требованию, чтобы в любой точке между
массами, а также при удалении от всех масс,
с возможно большей точностью удовлетворялось условие гармонич-
ности (70.03).
При написании уравнений движения в четырехмерной форме уравнение,
выражающее баланс энергии, обычно является следствием остальных уравнений
движения. Поэтому мы займемся сперва пространственными компонентами
соотношения (70.02) (соответствующими v=l, 2, 3), а затем проверим
выполнение условий, содержащих временную компоненту (v = 0).
Сопоставляя (70.02) с (70.04), мы можем положить
о = зг = - gV"Tai, (70.19)
¦v="•=?,?'• <70'20>
Для того чтобы величины (70.20) были малы вне масс, необходимо выполнение
ряда условий вида (70.18). Прежде всего, должны быть равны нулю интегралы
Д == -
№)
j gVJ^ dx1dx2dx,, = 0, (70.21)
§ 70] уравнения движения и условия гармоничности 321
распространенные на область каждой массы. Но, согласно (69.09) e'l.T" = |
("т")+gT") +
+ {%+1 w) <""¦" + т>">+4 (Ш~Щ) т°к <***>
Поэтому уравнения (70.21) могут быть написаны в виде
j g 7ч° (dx)з = J 1 (с* Г0° + Г"0 (d*)8 +
d_ dt
(a) (")
+4/(кд-(70-23)
