Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
бесконечные силы действуют на частицу в бесконечно малой области.
3. Рассмотрим движение частицы в поле прямоугольной стенки (рис. П:
Н (х) = 0 (х<0), t/(x) = t/0 (х>0).
Спектр непрерывный: 0<Е С со. При х<0 ВФ имеет вид
фл = aeikx + be~ikx.
Введенное обозначение для волнового числа k
k-^V^mE
41
мы будем использовать постоянно. При х > О ВФ имеет вид
Фя = ce,qx + de~'qx,
q=XEV 2m (E-U).
1) Пусть E<.U, q мнимое. Выбирая Im<7>0, получим фя = се~,''-\ у = Im
f/.
Мы положили d = 0, чтобы ВФ была нормируема. Требуя непрерывности ф, ф' в
точке х = 0, получим систему уравнений
а + b = с,
ik (с - 6) = - ус.
Введем обозначения:
Тогда
k- iy
k + iy '
в
¦2k
k + i''
Окончательно коэффициенты а, b, с находим из условия нормировки
фт =
1
V 2лА 2
лкх
V 2яй k + iy
k - iy k+iy
er'ix
-ikx
Функция фг имеет вид ВФ свободного движения (3.4). Можно интерпретировать
ф+ как ВФ частицы (испущенной источником, находящимся в точке х =- оо),
движущейся вправо, а ф_ - как ВФ частицы, движущейся влево. Поскольку при
х>0 j (х) - 0, то ф_ естественно рассматривать как ВФ частицы, отраженной
от потенциальной стенки.
Если ВФ частицы с энергией Е в поле U (х) имеет при х ->- - оо
асимптотический вид
то величина
Я (Я)
ф (х) т ае'
И2
ikx
+ Ье
¦ikx
lim
I / (ФТ I
>_o= I i 't()l называется коэффициентом отражения.
42
Для определения R (Е) норАлировка ВФ не нужна: достаточно найти
асимптотический вид волновой функции. Очевидно, в поле потенциальной
стенки при ?<Д0 R (Е) = 1. Заметим, что между падающей и отраженной
волнами существует фазовый сдвиг.
2) Пусть E>U, q действительное,
ф,. = aeikx + be-ikx (х < 0),
ф^ = Се^х + de~i,{X (х > 0).
Из решений фй (х) и фд (х) можно составить линейную комбинацию фд(х),
которая будет содержать только ВФ частицы, движущейся вправо. Например,
положив
Фт? (*) = Фт? (х) - Фт? (х),
мы будем интерпретировать ее как ВФ частицы, прошедшей над стенкой:
Фт? (х) == Ве'чх.
Положим
- pikx I Д p-ikx
фл (х) = eikx -\-Ле
Из условия непрерывности при х = 0 следуют уравнения для Л и В: -
1 + Л=В,
Отсюда
k(\-A) = qB.
в- 2k
k + q ' k + q '
Коэффициент отражения определится выражением
(3-5)
Так как q <+ k, то коэффициент отражения R "S 1 и достигает максимального
значения при 9 = 0 (E = U). Зависимость R от отношения Е/110 показана на
рис. 2. Поток при х>0 отличен от нуля:
. , 2qk2
/т? (фт) (fe + 9) 2-
Если ВФ частицы с энергией Е в поле U (х) имеет при х -V - сю и при х-->-
-(-оо асимптотики
фL(E, x) = eikx+ Ae~ikx (х->- оо),
Фт? (В, х) = Beiqx (х-э- + оо),
43
то величина
D(E)-
Inn j / (ifo) |
X -> CO_______________
lim 17 (Щ |
ч IД I2
k
называется коэффициентом прохождения: Уравнение Шре-дингера не описывает
источников и стоков частиц при конечных х. Поэтому
Заметим, что' для прямоугольной стенки выражения для R(E), D(E) не,
содержат постоянной Планка ft.
Рис. 3.
4. Найдем ВФ частицы в поле гладкой потенциальной стенки (рис. 3)
U (х) - U (1 е~х/'а)- \
Спектр непрерывный: 0 < Е < со. Потребуем, чтобы асимптотика решения при
х-> + оэ содержала только ВФ частицы, движущейся вправо:
ЦцгыАе**х q= jV 2m(E-U). (3.6)
При X-+ - CO асимптотика ВФ есть сумма решений, соответствующих падающей
слева и отраженной от стенки частице:
Ф/, яа Bte*** + В.ге-ikx. (3.7)
Найдем решение уравнения Шредингера
ff==2т/Е и_
tfl \ 1+е~х/а)
в в иде
ф (х) = и (х) ёчх, 11ш и (а) Ф О,
СО
44
или, полагая
у = - е~х'а, я}) (л*) = у-iqaw (у).
Уравнение для w (у) *
у ( \ - у) w" + (I - 2iqa) (I - у) w' - a2 (k2 - q2) w О
- гипергеометрнческого типа, одно из его решении
w = F(s1 - si, - s1 - si, - 2s,+ 1, //),
где К -гнпергеометрнческая функция, a s1 = ika, s2 - iqa. При у->0 ш->1,
при г/ -со w (у) есть
w^Ci (-yy*~Sl +Cz(-y)Sl + s*, где коэффициенты. Ci, с2 определяются
формулами
Г (- St) Г (- 5, -f- 1) Г(51)Г(-52+1)
^ Г (- S, - So) Г (- Sf - Sg -}- 1) ' " I (Si - So) Г (Si - Sg -j- 1)
Таким образом, при x-> - со асимптотика ВФ фх (х) яа (- l)-s* [с1ёкх +
с2е '*'] действительно имеет вид (3.7). Коэффициент отражения
R (Е) - -г?- " = к~ч[- (3.8)
' ' cl sli- па (к + q) v >
меньше коэффициента отражения от прямоугольной стенки той же высоты. Так
как к + q>k - q, достаточно показать, что функция
f(y) = y~lshy
не убывает при у> 0; условие положительности производной f (у) приводит к
неравенству
У > th у,
справедливому при у> 0.
В пределе ка-> 0 стенка переходит в прямоугольную; раскрывая
неопределенность в (3.8), получим
lim /?(?) =
V ^ k + q
в согласии с результатом п. 3.3.
5. Поле с потенциалом U (х) мы будем называть потенциальным барьером,
если
lim U(.г) = lim U(л) = 0,
х~*-со • д:^- + со
U (х) > 0.
45
shs л а (к - q)
Максимальное значение V (х) будем называть высотой барьера. Рассмотрим
движение в поле прямоугольного барьера (рис. 4):
U (х)~0 (х<0, х>а),
U(x) = U0 (0<х<п).
Как и в п. 3.3, рассмотрим решение в различных областях свободного
движения:
х<0: tyL = &kx-\-Ae
- ikx
О < х < а: Цм = В1е19х + В.1е-'9*, х>а: tyR = Ce'kx.
