Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
= ф' (G-Ч) = ф (Gb'Gz'T) = ф ((GeG4)"'r) = Т (GaGb) ф (г).
В данном доказательстве очень важно введение новой функции ф'(г)=ф(С^1г),
поскольку в общем случае т (G> (G^r)^- (Ga JGt Ч).
Матричное представление в функциональном пространстве может быть
получено, если распространить общее выражение (4.2) на пространство
функций, выбрав базис ф| (г):
т (Ge) ф, (Г) = ф(. (Gah) = ф; (г) = 2 Tji (Ga) Ф,. (г). (4.9)
i
Здесь функции ф* (г) служат примером абстрактных базисных векторов
В качестве иллюстрации рассмотрим шестимерное пространство L квадратичных
функций, введенных в гл. 3, § 2, п. Г. Оно, очевидно, инвариантно
относительно любого вращения и, в частности, относительно операций группы
Da. Например, Т (R^i=1/^i- (3/4)1/,фв+8/"Ф*-
Представления групп
71
Продолжая выкляцки, мы получим матрицу
1' 4 3 4 0 0 0 VJ1
3 4 1 4 0 0 0 -VJ
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 2 YJ 0
0 0 0 СО 1 1 2 0
VT /I 0 0 0 1 2 )
Тем же путем могут быть получены остальные пять матриц, и они будут иметь
ту же таблицу умножения, что и элементы группы.
Отметим, что при умножении функций ф(г) на любую скалярную функцию /(г),
где г=|г|, представление остается неизменным и, если функция / (г)
достаточно быстро уменьшается при больших г, объем V, в котором
определено скалярное произведение, можно расширить до бесконечности. В
этом случае функция ф(г) может представлять собой волновую функцию
частицы, движущейся в сферически-симметричном потенциале вокруг пачала
координат, как электрон в атоме водорода.
§ 4. ПОСТРОЕНИИ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ
Если в пространстве L определен некий оператор Т то может случиться так,
что существует подпространсто: Li пространства L, обладающее следующим
свойством если Tj - произвольный вектор подпространства Li, то
преобразованный вектор ri=Tr( тоже принадлежит подпространству Li. Такое
подпространство называется "инвариантным" по отношению к оператору Г. В
общем случае, если в пространстве L задан набор операторов Т (Ga),
образующих представление группы то может существовать подпространство Li,
инвариантное отно-
72
Глш*а 4
сительно всех преобразований Т (Ga), когда G0 пробегает группу #. В этом
случае подпространство Li называется инвариантным по отношению к
преобразованиям, индуцированным группой в таком смысле обычно и
понимается термин "инвариантное подпространство".
В примере, рассмотренном в § 3, п. А, из вида матриц понятно, что
инвариантными являются как подпространство векторов ех и ev, так и его
ортогональное дополнение (гл. 3, §"il) - одномерное пространство,
задаваемое вектором ez. Шестимерное функциональное пространство в примере
§ 3, п. В само по себе является подпространством пространства всех
непрерывных функций, имеющего бесконечное число измерений.
В данном параграфе мы хотим показать, что можно построить инвариантное
подпространство, исходя из единственного вектора в исходном пространстве.
Пусть г - произвольный вектор в L. Определим набор из g векторов га
соотношением
гд -Т (G")r, (4.10)
где Оа пробегает g элементов группы $. Отсюда сразу следует, что набор
векторов та заключен в инвариантном подпространстве пространства L,
поскольку для любого b
Т (G6) гд = Т (G6) Т (Gfl) г = Т (G6G") г = Т (Ge) г = ге, (4.11)
где групповой элемент Gc задается соотношением Gc= =GbGfl.
Если все векторы та липейно-независимы, то они образуют базис g-мерного
представления группы, поскольку формула (4.11) есть частный случай общей
формулы (4.2) для представлений. В таком случае матрица T(Gb) будет
задаваться равенством Тц(Gb)=l, если групповые элементы, обозначенные
индексами b, I и /, удовлетворяют соотношению GbG{=G ]. Все прочие
матричные элементы должны равняться нулю.
В общем случае векторы "; гд не являются ^линейно-независимыми, но всегда
можно''выбрать линейно-
независимых базисных векторов в виде линейных комбинаций векторов гд. В
большинстве случаев независимые базисные векторы удобно ортонормировать
"по Шмидту. Чтобы проиллюстрировать процедуру такого построения, вернемся
к примеру § 3, п. В. МьГбудем строить неза-
j'1редета$леним'"р1/пп
П
висимое пространство, исходя из единственной функции ф*(г)=а:а в группе
D,:
Из вида полученных функций явствует, что они не являются линейно-
независимыми, что построенное пространство трехмерно и что три функции
х2, у2 и ху образуют его базис, хотя и не ортонормированный. Матричное
представление в этом базисе можно найти, пользуясь формулой (4.2); имеем
Процедура ортонормирования базиса по Шмидту (гл. 3, § 1) требует гораздо
больше вычислений. Прежде всего напишем фх=Ах2, где А находим из условия
нормировки ф! с использованием скалярного произведения (3.13):
Т (Е)Фх = Фх>
T(Ri)^i = ^24-|-y2- (х) ''ху,
Т (Ra) Фх == j *2 + §- 2/2 + (т) ху,
Т ( R _ \
1
T(RX) =
i i/i
4 Г 4
1 -l/Г
4 V 4 '
4 2
-YV
з 1
l 1 3
T (R2) =
4 4
3 J_
4 4
2
1
Ш Ф1фх^7 = 1, v
и
Глле* 4
откуда
Затем положим ф %=В (у2-СфО и найдем С и В из условий ортогональности
