Небесная механика. Основные задачи и методы - Дубошин Г.Н.
Скачать (прямая ссылка):
l^rjcosqjjcos^, rj, = Г/ cos qpt sin Л/, ?/=/¦, sin <р( (7.40) (t=0, 1,
2....................п),
где ri - OMi есть радиус-вектор точки Mt\ ki- так же как и в
цилиндрической системе, - угол, образованный проекцией радиуса-вектора на
плоскость 0|г] с положительным направлением оси 0|, и (pi - угол,
образованный радиусом-вектором с плоскостью 01 т} (см. рис. 38),
ДРУГИЕ ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
367
Уравнения движения в полярных координатах напишутся по образцу уравнений
(6.25') § 3 гл. VI в виде
** *о 9 1 dU
ri - - rPicos - "^7 drT *
w(r$t)+rPisinф|cos Ф| = -S7 ^ '
(7.40')
dt V l'*l '_v'° mi dXi
(/ = О, 1, 2, ..., я),
Силовая функция сохраняет свой вид (7.4), но взаимные расстояния
определятся по формулам
ДЬ = r\+ r) - 2rtrjcos Y/y>
где
cos Y//= sin f/Sinfy-l-cos ф, cos фу cos (Я, -
так что есть угол, образованный ридусами-векторами точек Mi и Mj.
Составляя выражения частных производных от U по сферическим координатам,
мы будем иметь (см. § 4 гл. I)
dU
дг.
т.
J
Г,-Г; COS У;у
)-О
dt/ mrv sin (X/ - ЯЛ
- = - fmtri cos ф, 2j "if) cos фу-------------------------я------
д(/
Ч
cosq>l sin фу - sin cos фу cos (Я^ - А.у)
• = frn/r/^ /ЯуГу ~з •
;-о Ч
Преобразуя теперь уравнения движения относительно точки М0, написанные в
виде (7.39), к сферическим координатам по формулам, подобным (7.40),
= г I cos ф/ cos A,;, == Г/ cos фг sin г/=г/81Пф/ (7.41)
(/ = 1, 2, ..., п),
где Ti обозначают расстояния точек Mt от точки Mq, а Я,,- и ф1 имеют
значения, аналогичные предыдущим, мы получим следующие уравнения:
0-г/Ф/-гЛС08Ч = |7'
4Чг&)+г^81пф< С05% = Ж'
дъ '
~dt (r$'cos2 ф') = Ж7 '
(7.41')
368
УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. VII
где
причем
а взаимные расстояния выражаются такими же формулами, как и для уравнений
абсолютного движения.
Правые части уравнений (7.4Г) выразятся следующими формулами:
dQ, f(mb + "i) . /О cos Чц - 'i C0SY/y
^г=-*-+'h '[ ъ--------------------------------=г
п
^L=== - frl cos фг У' ttifjcos фУ4---Usin (Я., - kj),
0Ki j-i \*ij rJ)
П
= fri S mlri {j?-Trj lcos <Pisin Фу-sin Ф/ COS Фj cos (Я.|-Я.у)].
Аналогично можно преобразовать и уравнения движения в координатах Якоби,
вводя (так же, как было указано выше) для каждой точки М, собственную
систему сферических координат, связанную с собственной прямоугольной
системой G l_lx'ly'lz'i.
Уравнения движения будут иметь такой же вид, как и уравнения (7.40'),
однако, так как силовая функция зависит от координат Якоби гораздо более
сложным образом, чем от обыкновенных прямоугольных координат, то и ее
частные производные по полярным координатам также будут иметь довольно
сложные выражения, и мы их приводить не будем.
Уравнения движения относительно точки М0 в цилиндрических координатах
(7.39') или в сферических координатах (7.41') особенно удобны для
исследования движений планет солнечной системы.
Действительно, все большие планеты движутся почти в одной плоскости по
орбитам, очень близким к круговым. Поэтому, принимая упомянутую плоскость
*) за основную координатную плоскость, мы добьемся того, что радиусы-
векторы планет (т. е. их гелиоцентрические расстояния), так же как и их
проекции на
*) Как было уже отмечено выше, все большие планеты движутся почти в
неизменяемой плоскости солнечной системы, которая проходит почти через
центр Солнца, так как центр масс всей солнечной системы очень близок к
центру Солнца.
f ("о + '"г)
Г;
Г/ COS
Y и
j. 1
г, = УЖ+Ж+Т],
ДРУГИЕ ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
369
основную плоскость (длительное время, по крайней мере), будут мало
отличаться от некоторых постоянных величин (радиусов приближенных
круговых орбит!), а аппликаты г,- и широты <р* будут, вообще, весьма
малы.
Это обстоятельство значительно упрощает приближенное интегрирование
уравнений движения больших планет.
3. Рассмотрим еще одно специальное преобразование уравнений движения,
использованное вначале Клеро в одной частной задаче (в теории движения
Луны), а затем Лапласом в более общем случае.
Будем исходить из уравнений движения системы материальных точек,
находящихся под действием заданных сил, в цилиндрических координатах
(/=1,2.....п),
где Pi, A,-, Zj суть заданные функции величин pi, A*, zt, ..., р", Хп, zn
и их первых производных по времени, но не зависят явно от времени t.
Тогда, как известно, исключая время из уравнений движения и принимая за
независимую переменную любую из координат, мы можем понизить порядок
системы (7.42) на одну единицу. Наиболее удобно взять за новую
независимую переменную одну из долгот Ях, Х2, ..., %п, например, %h (где
k - любое из ряда чисел 1, 2, ..., п).
Преобразуем уравнения (7.42) введением новой переменной, полагая для
упрощения письма hh=K и введем, кроме того, вместо зависимых переменных
р* и z,- новые зависимые переменные, щ и Su посредством формул
так что Ui есть обратное значение проекции радиуса-вектора р,-точки Mi на
плоскость z=0, a Si есть тангенс широты этой точки. Положим теперь
