Сборник задач по физике с решениями и ответами: Механика: Для абитуриентов и учащихся 9 — 11 классов - Долгова А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Apx = тхcosa ¦ tg? - mvsina = -[iNx. Поделив правые и левые части равенств, для Apx и Apv найдем
tg? - tga = -2ц.
83 Для случая б):
tg? = tga + 2ц.
В этом случае сила трения Frp = цN обусловлена проскальзыванием шарика при его вращении по часовой стрелке и направлена по оси X.
2.22. а) tg? = tga + 2ц, б) tg? = tga - 2ц.
2.23. Так как плоскость — протяженная, то это означает, что тело не покидает наклонную плоскость. Опишем кратко особенности движения тела. При движении вверх оно вначале будет замедляться и спустя некоторое время /.j остановится. Дальнейшее поведение тела зависит от угла наклона плоскости к горизонту а. Если а достаточно мал. то тело останется в покое. Если a равен или больше некоторого а тах . то тело будет соскальзывать с наклонной плоскости равноускоренно.
В зависимости от того, какие случаи реализуются, рассмотрим различные варианты движения.
I вариант: Тело движется замедленно (ускорение на-
правлено против скорости). Величину ускорения найдем, решив соответствующую задачу динамики для тела, движущегося вверх по наклонной плоскости
Oj = g(sin a + ц cos a).
Время подъема до высшей точки определим из условия равенства нулю скорости тела в этой точке:
J g(sina +цеова)
Из уравнения движения находим, что при t < Li тело пройдет п\ть
Я 2
S = Vqt - — (sma + pcosa)! .
84 її вариант: і > I i. Тело соскальзывает с наклонной плоскости Ускорение тела
а2 = g(sin а ~ P cqS а)
sinfa - ?) ft
Положив здесь ц = tg?. представим а2 в виде a-, - g - ¦. _ ¦.. -. '
' / Jx + v2 *
Таким образом, соскальзывание будет возможным, если sin(a - ?) > 0, т.е. при a > amjn = arctgp. При а < а min тело будет покоится.
В этом случае путь, пройденный телом S3. можно найти, подставив t = Л, в формулу для пути при t < . Тогда
J 2g(sina + р cos a) Если a > a тш, то путь, пройденный телом, будет равен
S = S^+a2{t~ti)2 =
і
Vn S 7
и + —(Sma-PcoSa)(Z-C3) .
2g(sina + pcosa) 2
2.24. Время подъема тела т = WV° . Путь, пройденный телом.
mg + F
и r^ Od
при подъеме до высшей точки h =-. Время падения тела
2 (mg+F)
l2m(H + h)
на Землю At = -:— .
V mg-F
„ ,, g + Ffm 2
Если t < г . то S = V0/ - --Г .
• 2
85 а — f / Yn 9
Если т < / < т + Al. то S = h + ?-(/ - тГ .
Если / > т + А/, то S = 2h+ H .
2.25. Если р0 < р, то тело будет безостановочно погружаться с
Po"
ускорением а = g
-V=V11, ^fi--еа 2 1 р
1--. За время I оно погрузится на глубину
PJ
Если р0 > р, то тело вначале будет погружаться, а затем всплы-
гч vO
вать Время погружения в этом случае равно т = —-г- .
Po
-1
Если I < т , глубина погружения составит
S = V0I-
gt'
Po
-I
Если / > т, то путь, пройденный телом от начала движения,
Vo
¦ +
g
2 g
Po P
Po
-1
(t-тУ
2.26. При падении тела с высоты H скорость его перед вхождением в воду будет равна V0 = -J2gH . Если плотность тела р больше плотности воды р0, то глубину его погружения HJ за время / можно посчитать по формуле:
H1 =VQt +
gt
Po P /
86 Если же р < Po, то глубина погружения H2 за время t
H2 =V0/-
Po
1
(см. решение задачи 2.25). Вторая формула относится только к слу-Vo
чаю t < т = •
sf--1)
V P
-, где т — время погружения, соответствую-
щее остановке тела в воде.
При уменьшении начальной высоты в к раз скорость тела перед
входом в воду будет равна V0^ = время At = 1 с — в случае р > р0:
W
, а глубина погружения за
н»=JW+I
в случае р < ро:
H
2 к
2gH g к 2
Po
-1
H j H2
Так как по условию задачи / = —— = ——, то для случая р > р(|
H\к H 2к
получаем
fop+gi 2
/ =
Po
+ g/2
1-
Po
а для случая р < р0
/ =
figH-g!^- 1
V P J
I
к
Po
87 Оба выражения для / дают
/ Ї Tk
g C-D
При / = 1.9 и к = 4.5
5 = 2.
2 H
Гк.
g (I-D
>0.
Следовательно, р() <р. т.е. исходные данные соответствуют случаю. когда тело при падении в воду утонет.
2.27. Р»=1_2 |Й№-'
?
/-1
. При jfc = 8,3 ; / = 3,5
Pu
>1,
т.е. ро > р . Следовательно, тело будет плавать в воде.
Указание. См. решение предыдущей задачи.
2.28. Так как F) sin а + F2 sin ? < mg , то тело будет скользить вдоль поверхности, не отрываясь от нее. При этом так как ? < а , т.е. F2 cos? > F1 cosa , то вначале тело будет тормозиться, а затем или остановится, или, сменив направление движения на противоположное, будет разгоняться.
Ускорение при торможении
аі = — {(cos ? - cos a) + ц[2 - (sin a + sin ?)]},
а при разгоне
g
а2 = у {(cos? -cosa) - ц[ 2 - (sina + sin?)]}. 88 Время, когда произойдет изменение направления движения на v0
противоположное, T =
Если t < T . ТО S = Vq t -
*f
При t = х тело пройдет путь S =
vO 2а\
Если р[2 - (sin а + sin ?)] > cos ? - cos а, то движение тела на этом закончится, так при этом соотношении между углами а и ? выполняется условие: Frp < рN.
Если р[2 - (sin а + sin ?)] < cos ? - cos а. то, изменив направление движения на противоположное, тело продолжит движение с ускорением а2 и за время I пройдет путь
