Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Функция отклика на единичный импульс, соответствующая подправленной модели, приведена в табл. 10.3. Видно, что она гораздо лучше согласуется с теоретической, чем та, которая получена при непосредственном оценивании.
Таблица 10.3
Теоретическая функция отклика на единичный импульс и ее выборочные оценки, полученные при параметрическом оценивании
m 0 1 2 3 4 5
Теоретические значения hm 1,00 0,250 —0,438 —0,234 0,154 0,055
Параметрическое оценивание hm 1,10 0,276 —0,458 —0,235 0,160 0,153
Теоретические значения hm
—0,066
—0,044
0,022
0,028
-0,004
Параметрическое —0,038
оценивание hm
—0,083
-0,003
0,039
0,011
7 Зак. 1178
194
Глава 10
10.3. ОЦЕНИВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 10.3.1. Оценки функций усиления и фазовой характеристики
Чтобы можно было применять спектральпые методы для оценивания частотных характеристик, необходимо отбросить условие физической реализуемости системы: п(и) =0 при и < 0, и рассмотреть модель
OO
XAt)-U2= J h {u) [X1 (t -и) -X1] du + Z(t).
— OO
Если шум Zt белый, то с помощью рассуждений, аналогичных использованным в Приложении П5.1, можно показать, что выборочная оценка наименьших квадратов h(u) для функции h(u) удовлетворяет интегральному уравнению
OO
c12(w)= J h(v)cn{u-v)dv, -Г<м<7'. (10.3.1)
— OO
Если данные получены из линейной физической системы, то условие h(и) =0 при и < О будет автоматически выполнено, если не учитывать выборочные ошибки, обусловленные конечной длиной записи. Фактически, если бы мы имели запись бесконечной длины, то уравнение (10.3.1) было бы справедливо для функции h(u), тождественно равной нулю при и < 0.
Решение интегрального уравнения (10.3.1) можно существенно упростить с помощью преобразования Фурье. Так, если от обеих частей (10.3.1) взять преобразования Фурье, то получим
C12(Z) = Я (Z)C11(Z), (10.3.2)
где
оо
Я (Z)= J" h (и) е- W du.
о
Отсюда оценка частотной характеристики равна
Й{П = ^пЖ' (10-3-3)
т. е. оценка равна отношению оценки взаимного спектра к оценке входного спектра. Выражение (10.3.3) можно переписать в виде
GV)el?lf)=s-§5melP*{f), (10.3.4)
Оценивание частотных характеристик
195
где H {f) = G {f) e!F {i). Таким образом, оценки функций усиления и фазы имеют вид
C11 (Z) F(f)=Fa(f).
(10.3.6)
В разд. 9.1.1 было показано, что дисперсию оценки фазового спектра в первом приближении можно считать не зависящей от длины записи Т. Поскольку дисперсии функций ЛI2(Z) и Сц(/) точно jaK же можно считать не зависящими от Т, то дисперсия оценки o(/) не зависит от Т. Следовательно, оценки (10.3.5) и (10.3.6) необходимо сгладить, чтобы уменьшить их дисперсию.
Один способ, с помощью которого можно этого добиться, состоит в том, что вместо несглаженных оценок в (10.3.5) и (10.3.6) подставляют их сглаженные варианты. Это приводит к следующим сглаженным оценкам функций усиления и фазы:
F(f) = arctg
Q12(Z)
Ln (!) J
(10.3.7) (10.3.8)
Смещения и ковариации этих оценок можно вывести с помощью методов, применявшихся в разд. 9.2. Другой способ сглаживания, рассматриваемый в следующем разделе, получается, если решать задачу оценивания частотной характеристики методом наименьших квадратов в частотной области. Этот подход имеет то преимущество, что приближенные доверительные интервалы вычисляются с помощью распределений, возникающих в методе наименьших квадратов, а не с помощью первых двух моментов спектральных оценок, как это делается в первом способе сглаживания.
10.3.2. Применение метода наименьших квадратов в частотной области
В этом разделе показано, что задача оценивания частотной характеристики формально эквивалентна задаче оценивания регрессии методом наименьших квадратов, проводимого на каждой из частот. Показано также, что многие из формул метода наименьших квадратов, выведенные в разд. 4.3, можно без изменений перенести в частотную область.
В разд. 6.4.1 было доказано, что равенство (10.1.1) приближенно выполняется для двух конечных отрезков процессов Xi(t) и Xzit), если только отклик на единичный импульс h(u) убывает
7*
196
Глава 10
практически до нуля за время, малое по сравнению с Т. Поэтому, если обозначить
т
Xt(f)= $ X,{t)e-lW dt,
о
то преобразование Фурье выражения (10.1.1) запишется в виде
J2(Z) ~ Hd)XAf) + z(Z). (ю.3.9)
Далее, (10.3.9) также можно записать в виде
Z (/) - [X2 (f) - X1 (f) H (f)] + X1 (f) [H (f) - H (f)] и, следовательно,
I Z (/) P ~ I X2 (/) - X1 (Z) H (/) P + I X1 (Z) PI H (f) - H (f) р. (10.3.10) Перекрестные члены исчезают, так как из (10.3.2) следует, что
Jl(Z) x2(f) = н (/)| J1 (/)р.
Отметим, что представление (10.3.10) по форме аналогично разложению (4.3.10) остаточной суммы квадратов в обычном регрессионном анализе, проводимом методом наименьших квадратов. Різ (10.3.9) получаем наилучшую выборочную оценку шума на частоте /
z(f) = x2(f)-н (f) X Af).
Разделив (10.3.10) на Т, находим
СZz (/) ~ Czz № + Сп (f) \ 0(f)-H (Z) р. (10.3.11)
Входящий в (10.3.11) выборочный спектр процесса, образованного остаточными ошибками, можно вычислить с помощью (10.3.9). В результате получим
