Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Var [L12 (/)] = j1- e [a2a2 + в\в\ + 2S1S2^2] =
Аналогично,
2 2 "т" 2 2 + 2
? [Q12(Z)] = о,
Var [Q12(Z)]
сттст
1"2
CoV[L12(Z), Q12 (Z)] = 0.
Можно показать, что Li2(Z) и Qi2(Z) некоррелированы с Cn(Z) и C22(Z). Поэтому ковариационная матрица оценок Cn(Z), C22(Z), Li2(Z) и Qi2(Z) будет иметь вид
О ct2
О О
о
о
о
о о
о
(9.1.8)
Распределение оценок, соответствующих выборочному взаимному амплитудному спектру. Случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному амплитудному спектру, по определению равна .•4J2(Z) = |Ci2(Z)|, так что ее квадрат, используя (9.1.1), можно записать в виде
Z1 (Z) \2\(\Z2 (f)
a]2 (Z) = IC12 (Z) |2 = L?2 (/) + <&(/) =
Удобнее сейчас ввести случайную величину
= C11 (Z) C22(Z).
Y2 (Z) =
Щ2 (Z)
'1и2
2С,,(/) \/ 2С22(/)
= uv.
Используя независимость процессов Z4 (г) и Z2 (г) и тот факт, что Cu(Z) с точностью до множителя имеет х2-распределение (разд. 6.3.3), получаем, что случайная величина F2(Z) равна произведению двух независимых величин U, V, имеющих
126
Глава 9
^-распределение с двумя степенями свободы. Отсюда с помощью (3.3.6) получаем
E [Y2(f)] = E [U] E [V] = 4,
E [Y' {f)] = E[U2]E [V2] = (8) (8) = 64.
Следовательно,
Var [Y2 (/)] = 48, Е [АЇ2 Щ = ( ^p-) ? [>-2 (f)] = о2о\ (9-1 -9)
и
Var [А\2 Щ = {^) Var [Y2 (f)] = Зв\о\.
Отметим, что, в то время как дисперсия выборочного спектра равна квадрату его среднего значения, дисперсия выборочного взаимного амплитудного спектра равна утроенному квадрату своего среднего значения. Это увеличение дисперсии произошло из-за того, что при оценке амплитудного спектра изменчивость создается двумя процессами, а не одним.
Распределение оценки, соответствующей выборочному фазовому спектру. Из (9.1.3) и (9.1.4) получаем случайную оценку, соответствующую выборочному фазовому спектру:
^-Ы-Ш]-Ы-П^1
Рассмотрим теперь случайную величину L12(Z). Случайные величины At, Bi распределены по нормальному закону, так что область изменения величины AiA2 +BiB2 простирается от —оо до + оо и, следовательно, ее естественно аппроксимировать с помощью нормального распределения. Аналогичные соображения применимы и к случайной величине Q<2(f). Таким образом, можно считать, что Li2(Z) и Q12(f) распределены приблизительно нормально, независимо друг от друга и с одинаковой дисперсией. Отсюда Fi2(f) имеет приблизительно равномерное распределение на интервале (—я/2, л/2). Мы воспользуемся этим фактом в следующем разделе при выводе критерия корреляции двух временных рядов.
9.1.2. Критерии корреляции двух временных рядов
Часто встречаются ситуации, когда бывает нужно проверить, коррелированы два временных ряда или нет. Например, может возникнуть необходимость проверки корреляции двух управляющих переменных или остаточных шумов двух экономических временных рядов после подгонки соответствующей модели. Из
Оценивание взаимных спектров
127
разд. 8.2.2 следует, что если оба временных ряда профильтровать так, чтобы они превратились в белые шумы, то для проверки корреляции этих рядов можно будет использовать их выборочную взаимную корреляционную функцию. Однако эта функция полезна лишь для выявления корреляции определенного типа. Например, если коррелированы соседние точки двух временных рядов, то следует ожидать, что выборочная взаимная корреляционная функция будет велика при малых значениях аргумента и мала при больших значениях. С другой стороны, если есть подозрение, что взаимная корреляционная функция содержит гармоническую компоненту, то этого, возможно, нельзя будет выявить с помощью выборочной корреляционной функции. Поэтому нужно построить частотный критерий корреляции двух временных рядов, который был бы обобщением критерия белого шума, приведенного в разд. 6.3.2. Этот частотный критерий следует использовать в сочетании с критерием, основанным на выборочной взаимной корреляционной функции.
Выбор функций для критерия. Обсуждение в разд. 8.4.4 наводит на мысль о том, что в качестве исходных количеств для частотного критерия корреляции двух временных рядов можно было бы использовать случайные функции, соответствующие выборочному спектру когерентности K2X2[J) и выборочному фазовому спектру Fa(I). Заметим, однако, что
X] (I)X2(D к2 m_ IC12(DI2 _ т
ді2^ C11(DC22(D і X1(Di2 UY2(Z)I2
T T
Таким образом, независимо от того, каков двумерный случайный процесс, выборочный спектр когерентности тождественно равен единице. Следовательно, необходим другой подход, использующий выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый спектр. Эти функции характеризуют два различных типа взаимной корреляции процессов.
1. Выборочная коспектральная функция (integrated sample co-spectrum). Рассмотрим коспектральную функцию
f
/«(/)= j^M dg, -f
характеризующую полную синфазную ковариацию двух процессов для всех частот, не превосходящих /*). Тогда оценка /12(f)
¦= 1.
*) Более естественно в приведенном интеграле положить нижний предел равным —оо. В этом случае определение коспектральной функции соответствовало бы обычному определению спектральной функции. — Прим. перев.
