Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Примеры одномерного анализа
43
L*. В таком случае выборочная оценка имеет малую степень искажения и высокую устойчивость. Иногда случается, что наибольшее значение точки отсечения LM оказывается слишком мало. В этом случае выборочная спектральная оценка, возможно, будет сходиться к некоторому предельному виду, однако для подтверждения этого поведения может возникнуть необходимость дальнейшего вычисления выборочных оценок при L > Lm-
б. Промежуточный случай спектрального анализа. На практике ситуации, когда одновременно можно достичь высокой устойчивости и малой степени искажения, редки. Как правило, выборочная оценка проявляет признаки сходимости при малых L, а затем начинает расходиться при дальнейшем росте L. Обычно это означает, что выборочная оценка стала неустойчивой до того, как в спектре выявились тонкие детали. В таких ситуациях мы предлагаем строить несколько спектров, перекрывающих промежуточный случай, где сходимость выборочных спектральных оценок уступает место расходимости, так чтобы эти эффекты были видны при интерпретации спектров. Как показано в разд. 7.1, нетрудно получить ложные пики в спектре, сужая полосу частот окна. Поэтому в такой ситуации лучше проявить осторожность, отдавая предпочтение в использовании небольшим значениям точек отсечения.
Иногда случается так, что выборочная спектральная оценка быстро сходится в одних частотных интервалах, где спектр плавный, и медленно в других, где спектр меняется быстро. Поэтому в разных частотных интервалах могут потребоваться разные значения L.
в. Случай плохого спектрального анализа. Иногда выборочные спектральные оценки настолько заметно меняются при уменьшении полосы частот окна, что невозможно рекомендовать даже несколько спектров. В такой неблагоприятной ситуации, возможно, следует предпочесть выборочную спектральную оценку с малым значением точки отсечения, сознавая, что при этом широкое спектральное окно может замаскировать важные тонкие детали спектра. Однако основная неприятность в том, что N слишком мало, поэтому нужно собрать больше данных.
Следует подчеркнуть, что приведенные выше рекомендации не являются строгими, а скорее должны рассматриваться как наводящие соображения. В конкретных задачах может потребоваться другой способ действий. Например, нас может интересовать пик с известной средней частотой, но с шириной, которая известна лишь приближенно. В этом случае полосу частот окна можно было бы стягивать к этой частоте для исследования данного пика, не слишком заботясь об устойчивости на других частотах. Изложенную выше процедуру мы сейчас проиллюстрируем на двух практических примерах.
44
Глава 7
7.3.4. Два практических примера оценивания спектра
Спектральный анализ данных о партиях продукта. /. Предвари-рительный анализ. Проверка данных о партиях продукта на рис. 5.2 не выявила какого-либо очевидного тренда. Поэтому была использована выборочная оценка ковариационной функции (7.1.2),
6,0
S1O
f.o
3,0
2,0
1,5
1,0 0,9 0,8
Rxx(fj L полоса частот окна
16 ~------
8-----
4 „-
80%-ные доверительные интервалы L 16 8 4
ОКНО ТЪНЖИ
О Ц125 0,25 0,375 0,5 Г,гц
Рис. 7.15. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра для данных
о партиях продукта.
которая вычислялась до запаздывания Lmax = 18. Проверка пробного спектра на рис. 7.14 показала, что спектр весьма плавный, так как диапазон его изменений равен примерно четырем. Поэтому не стали брать первые разности от данных.
2. Первая стадия вычислений. Выборочная корреляционная функция rxx(k) для этих данных изображена на рис. 5.6. Из этого графика видно, что она фактически равна нулю при k > 10. Поэтому было решено взять точки отсечения L = 4, 8 и 16.
3. Вторая стадия вычислений. С помощью окна Тьюки для этих значений L вычислялись выборочные оценки нормированного спектра, графики которых были построены все вместе на рис. 7.15.
Примеры одномерного анализа
45
На этом рисунке нанесены также отрезки, показывающие значения ширины полосы частот окна и доверительные интервалы для каждого из выбранных значений L.
Следует отметить, что этот спектр похож на спектр искусственного процесса авторегрессии первого порядка с осі = —0,4 и N = = 100, показанный на рис. 7.4. Очевидно, что полоса частот, соответствующая L = 4, слишком широка для того, чтобы выявить какие-нибудь детали в спектре, но изменения при переходе от L = 8 к L = 16 показывают, что спектр очень плавный и что нет смысла стягивать окно еще больше. Несмотря на то что N мало, можно
считать, что спектральный анализ является удовлетворительным и что мы немногое потеряли бы, взяв L = 8. Для окна Тьюки и L = = 8 число степеней свободы равно 23, что является приемлемой величиной.
Спектральный анализ радиолокационных данных. Рассмотрим другой пример, иллюстрирующий метод, изложенный в разд. 7.3.3. На рис. 7.16 показана выборочная корреляционная функция отраженного радиолокационного сигнала, изображенного на рис. 5.1. На рис. 7.17 приведены выборочные оценки нормированного спектра, полученные с помощью окна Бартлетта при L = 16, 48 и 60 для ряда, состоящего из N = 448 членов. Частотный диапазон обозначен от 0 до 0,5 гц, поскольку настоящий диапазон несуществен. Мы видим, что при L = 16 выборочная оценка плавная и не выявляет пика, существование которого можно было бы ожидать из-за осцилляции корреляционной функции. При L = 32 (этот случай не показан на рисунке) появляются вполне различимые пики приблизительно на частотах / = 0,07 гц и 0,25 гц. Увеличение L до 48 выявляет эти пики очень наглядно, и далее видно, что при увеличении L до 60 спектр меняется мало. Поэтому было взято значение L = 60, для которого эквивалентная ширина полосы частот равна 1,5/60 = 0,025 гц, и выборочная оценка на каждой из оцениваемых частот имеет 3-448/60 — 22 степени свободы, что является приемлемой величиной. Доверительный интервал при L =
