Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
?[x2[=v,
Var[x?]=2v. (3.3.6)
3.3. Выборочные распределения
105
В гл. 4 будет показано, что выборочной оценкой дисперсии по выборке из п наблюдений является
S2 = -7rLr2 U-^)2.
O1SOr
Рис. 3.9. Плотности вероятности х2-распределения.
Чтобы описать изменчивость этой функции от одной выборки к другой, вводят соответствующую случайную величину S2, где
S1 = -^rr^i{Xl-X)\ (3-3-7)
1 = 1
106
Г л. 3. Теория вероятностей
Если Xi — независимые N(n, 1)-случайные величины, то можно показать [2], что (п—I)S2 распределена как х2 с v= (п—1) степенями свободы. Термин «степени свободы» используется здесь в том же самом смысле, что и в статистической механике. Так, для любого множества из п наблюдений будет только (п—1) независимое отклонение (Xi — X), так как их сумма равна нулю.
Обычно будет предполагаться, что наблюдения распределены как N(ц, о2). В этом случае Хі/о будут распределены как N(n/o, 1),. так что случайная величина
п
(«-!)^ = -^2(^-^)2 (3.3.8)
будет иметь %2-распределение с v = n— 1.
Так как vS2jo2 распределена как %2, то вероятностные границы
вида
Рг { (І) < 2S- < *. (1 - "f ) } = 1 - а 0.3.9)
можно получить из таблиц [1]. Перегруппировав (3.3.9), получаем, что случайная величина o2/S2 удовлетворяет соотношению
Pr( ,,(iv—|2> <4r<xiiw} = 1-«- (3.3.10)
Графики верхней и нижней границ vjxv(\—а/2) и v/xv(a/2) приведены на рис. 3.10 для о;= 0,01, 0,05 и 0,2 и для 3 ^ v ^ 100. Отметим, что верхняя и нижняя границы в (3.3.10) очень чувствительны к справедливости предположения о нормальности [3], в отличие от вероятностных границ среднего значения, которые можно построить, исходя из нормального закона, в силу центральной предельной теоремы.
Кривые рис. 3.10 можно использовать для определения интервала, попадание внутрь которого для случайной величины S2/az можно ожидать в 100(1—а) % случаев. Например, предположим, что должны быть получены 20 наблюдений из Л/(ц, а2)-популяции. Тогда \' = п— 1 = 19 и, используя (3.3.10) и рис. 3.10, получаем
Pr J0,58<-|2- <2,11 J = I-0,05 = 0,95. .
Поэтому следовало бы ожидать, что в среднем в 19 случаях из 20 отношение O2IS2 будет лежать в интервале от 0,58 до 2,11. Иначе говоря, значения S2 будут лежать с вероятностью 0,95 в интервале 0,47o2<S2^ 1,72а2, или же значение vS2/o2=\9S2/a2 будет лежать в интервале 8,9< 1952/о2 ^ 32,9. Границы 8,9 = 19/2,11 и 32,9 = = 19/0,58 для vS2/a2 обычно приводятся в статистических таблицах.
3.3.3. Выборочное распределение среднего в случае, когда дисперсия неизвестна
Для того чтобы определить вероятностные границы для среднего нормальных случайных величин, нужно знать о — стандартное отклонение популяции. Если о неизвестно, то невозможно сделать точные вероятностные утверждения, используя выборочное распределение X, так как вероятностные границы будут зависеть
108
Гл. 3. Теория вероятностей
от неизвестного значения а. В таком случае говорят, что а является мешающим параметром.
Чтобы построить вероятностные интервалы для среднего, когда о известно, естественно рассмотреть случайную величину
Y = ^kX-у) (ЗЗЛ1)
Эта случайная величина распределена как N(Q, 1), и поэтому вероятностные интервалы можно получить из табл. 3.2.
Важный шаг вперед в теории выборочных распределений был сделан в 1908 г. Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент. Он показал, что если а заменить в (3.3.11) на случайную величину S, где S2 определяется выражением (3.3.7), то распределение случайной величины
7\ = ^^-¦1J , v = rt-1, (3.3.12)
не будет зависеть от мешающего параметра а. Следовательно, вероятностные утверждения относительно среднего нормальных наблюдений можно сделать независимо от того, каково значение о". Этот результат интуитивно очевиден, так как если бы наблюдения были умножены на некоторую константу (например, если бы наблюдения производились в сантиметрах вместо метров), то и числитель и знаменатель в (3.3.12) умножились бы на эту же константу, так что T4 осталось бы тем же самым.
Плотность вероятности случайной величины Tv называется t-распределением Стьюдента с v степенями свободы и, подобно нормальной плотности, она симметрична относительно начала координат. Влияние замены о в (3.3.11) на S, как это сделано в (3.3.12), выражается в том, что изменчивость случайной величины Tv возрастает, и, следовательно, ^-распределение Стьюдента более размыто, чем нормальное распределение. Однако, по мере того как v увеличивается, распределение S все более и более концентрируется около а, и поэтому ^-распределение стремится к стандартному нормальному распределению (3.2.8), как это вновь следует из центральной предельной теоремы.
^-распределение Стьюдента можно использовать для построения интервалов tv(a/2), tv(l— а/2), в которые можно ожидать лопада-ния случайной величины Tv в (1—а)-й части всех случаев. Так как плотность вероятности симметрична, то tv(a/2) ——tv(\— а/2) и поэтому
Рг{-^(1-^)<Г,<^(1-^-)}=1-..
Рис. 3.11 показывает кривые ty(\—а/2) в зависимости от v для а = 0,05 и а = 0,01. Заметим, что для больших v кривые стремятся
